* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

404 НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ неевклидовой геометрии Лобачевского можно формулировать в ви­ де заключения о н е з а в и с и м о с т и аксиомы параллельности от остальных аксиом евклидовой геометрии или в виде заключения о том, что аксиоматика абсолютной геометрии не является п о л н о й (ср, статью «Аксиомы и основные понятия геометрии» в IV кн. ЭЭМ). На­ чатки абсолютной геометрии имеются уже у Евклида, пытавшегося возможно далее не использовать V постулата. В качестве типичной теоремы абсолютной геометрии можно упомянуть следующую: внешний угол треугольника меньше не смежного с ним внутрен­ него угла ) (см. сноску *) на стр. 396). К абсолютной геометрии относится, например, и теорема 1 Лежандра (стр. 398), утверждаю­ щая, что сумма углов треугольника не может быть больше 180°. г § 2. Неевклидова геометрия Римана 2 . К Сферическая геометрия и неевклидова геометрия Римана. Огромное впечатление, произведенное на умы математиков откры­ тием Лобачевского, Бойяи и Гаусса, быть может, было бы несколько менее сильным, если бы люди заметили, что еще задолго до Лобачевского они фактически уже владели содержательной гео­ метрической схемой, отличной от традиционной геометрии Евклида, т. е. уже знали одну из неевклидовых геометрий. Однако твердое убеждение всех ученых в универсальности системы Евклида не позволило им оценить по достоинству тот запас знаний, которым они располагали. Именно поэтому первым примером геометрической системы, отличной от классической геометрии Евклида, считается обычно неевклидова геометрия Лобачевского. Значительно же более простая схема, по существу разработанная с большими деталями за много веков до Лобачевского, связывается обычно с именем гениального немецкого математика Бернхарда Р и м а н а , впервые обратившего внимание на родство этой схемы с классиче­ ской геометрией Евклида и неевклидовой геометрией Лобачевского. Мы, однако, здесь не будем следовать истории вопроса и из­ ложим более простую схему Римана до геометрии Лоба­ чевского. Когда мы говорим, что неевклидова геометрия Римана была известна задолго до открытия Лобачевского, мы имеем в виду тесную связь ее со сферической геометрией (геометрией на по­ верхности сферы). Основные факты сферической геометрии были основательно изучены еще в древности в связи с задачами астро­ номии. Поскольку поверхность земли приближенно имеет форму ) Более сильная теорема: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, — доказывается с применением аксиомы параллельности. Эта теорема относится к е в к л и д о в о й (а не абсолютной) геометрии. г