* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

398 НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ его исследования очень поучительны и, что самое главное, вскры­ вают глубокие связи между V постулатом и другими предложе­ ниями. Особенно важны три замечательные теоремы Лежандра о связи V постулата с теоремами о сумме углов треугольника. Мы рассмотрим их подробнее. Доказательства этих теорем проводятся б е з использования V постулата (или аксиомы о параллельных). Теорема 1. Во всяком треугольнике сумма внутренних углов не превосходит 180°. Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим, что наша теорема неверна, т. е. что существует треугольник АВА сумма углов которого больше 180°. Продолжим сторону АА этого треугольника и по­ строим на прямой АА ряд треугольников A B A АВА, ,.. •••» А _ В _ А АВА , равных треугольнику АВА \ точки В и В], В и В , В_ и В соединим отрезками (рис. 6; заметьте, мы не утверждаем, что отрезки ВВ ВВ, В_В и Х г x x 2t 2 2 3 п х п х пъ п п п+х г х 2 п х п Х> х г п х п А А 1 A z Aj А„- 7 А„ A +, Q Рис. 6. составляют п р я м у ю линию,— доказать это, не опираясь на V постулат, невозможно). Так как на рис. 6 Z l + Z ~ t ~ + Z > °> Z n - Z ' +Z =1 °» ™ Z ' < Z ; образом, стороны А В и А В треугольника А ВВ соответственно равны сторонам ВА и ВА треугольника ABA а заключенный между ними угол А меньше угла В, Отсюда вытекает, что АА > ВВ (заметим, что теорема о двух треугольниках, имеющих по две равные стороны, во всех учебниках геометрии доказывается д о аксиомы параллельности и, следовательно, не зависит от V посту­ лата). Но, очевидно, не только Д АВА = Д А В А = .. . = Д А В„А > но и Д B V i = A A 2 = - - = A Вп-ИАПоэтому, если положить АА —ВВ = а то мы получим АА — (ВВ + В В +... . . . +В ^ В ) — па. Выбрав теперь число п настолько большим, что па > 2 А Я, мы найдем, что (АВ + ВВ + В В^ + . . . + Д„- В + В А ) — — АА = АВ+ В А —па < 0, т. е. что отрезок АА больше ломаной АВВ £«^„, соединяющей его концы. Но последнее невозможно (причем невозможность эта устанавливается без обра­ щения к аксиоме параллельности). Полученное противоречие и доказывает теорему. Т е о р е м а 2. Если у какого-либо одного треугольника сумма углов равна 180°, то она равна 180° и у любого треугольника. 2 3 1 8 0 а 2 3 8 0 2 2 т а к и м г Х Х Х Х Х Xf х Х Х г Х Х 2 п п+х f l B Х х % п х 1 2 п х п г Х х п п п п п п п Х