* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ВОЗНИКНОВЕНИЕ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО 397 В заключение приведем в качестве примеров доказательства V посту­ лата (или аксиомы о параллельных), предложенные Валлисом и Бойяи. В следующем пункте мы также рассмотрим доказательства, ланные Лежандром. Пусть прямые АВ и CD пересекаются прямой АС, причем углы ВАС и ACD составляют в сумме меньше двух прямых углов (рис. 4). В а л л и с передвигает прямую CD по направлению к прямой А В таким образом, что угол ACD остается постоянным. Это передвижение производится до тех пор, пока прямая CD не займет положение CD', в котором она пере­ сечет прямую АВ в точке £ ' . Получится треугольник АСЕ'. Но в силу Рис. 4. Рис 5. аксиомы В ал лыса можно на отрезке АС построить треугольник, подобный этому треугольнику. Третья вершина этого треугольника и будет точкой пересечения прямых АВ и CD. Б о й я и рассматривает случай, когда прямая АС перпендикулярна к прямой А В (рис. 5; если V постулат доказан для этого случая, его нетрудно доказать и для общего случая). Далее он берет произвольную точку Е отрезка АС и находит точки F и G, симметричные точке Е отно­ сительно прямых АВ и CD. Если сумма внутренних односторонних углов ВАС и ^ DC А не равна двум прямым, т. е. если прямая CD не перпен­ дикулярна к АС, то точки £ , F и G не лежат на одной прямой. Следова­ тельно, они, как считает Бойяи, лежат на одной окружности. В таком случае прямые АВ и CD—перпендикуляры, восставленные в серединах хорд окружности,— пересекаются з центре этой окружности. 1.2. Исследования Лежандра. Французский математик и педагог А. М. Л е ж а н д р является автором замечательного школьного учебника «Начала геометрии», вышедшего в свет первым изданием в 1794 году и переиздававшегося при жизни автора 14 раз. Лежандр весьма существенно менял свою книгу от издания к изданию. При этом больше всего его заботила теория параллельных. Во всех прижизненных изданиях «Начал геометрии», кроме 9, 10 и 11-го, Лежандр д о к а з ы в а л V постулат, меняя, однако, доказатель­ ства от издания к изданию. Объяснялось это тем, что каждый раз после выхода очередного издания Лежандр обнаруживал ошибку в опубликованном доказательстве (точнее, не ошибку, а неявное использование утверждения, эквивалентного V постулату). Безуп­ речного доказательства V постулата Лежандр так и не получил (и, как б у д е т ясно из сказанного ниже, не мог получить). Однако