* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

396 НЕЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ постулат при помощи допущения: «через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность». Так, например, ясно, что если V постулат имеет место, то через точку А взятую вне прямой DD\ можно провести в пло­ скости ADD' е д и н с т в е н н у ю прямую ВВ\ не пересекающую прямой DD'. Действительно, для такой прямой должны быть выпол­ нены соотношения: /ВАС-\- /DCA^X 80° (где С—произвольно выбранная точка пря­ мой DD') и ^/B'AC+^D'CA^XSO (рис. 3), т. е. ^/BAC+^/DCA^lSO (и ^/B'AC + ^D'CA = \S0°). С другой стороны, если имеет место аксиома Плейфера, т. е. если через точку Л, взя­ тую вне прямой DD\ в плоскости ADD' проходит единственная прямая ВВ\ не пересекающая DD\ то эта прямая, как нетрудно убедиться, будет определяться условием /_ВАС-\- f - ^ D C A = 180° ); все же остальные прямые будут пересекать прямую DD' причем именно так, как это указывается в V посту­ лате. Таким образом, V постулат в самом деле эквивалентен аксиоме П л е й ф е р а ) . Ввиду того, что аксиома Плейфера эквивалентна V постулату, но формулируется несколько проще, в современных изложениях элементарной геометрии вместо V постулата исполь­ зуют аксиому параллельности (в форме, предложенной Плейфером). Использована она и в гильбертовой аксиоматике евклидовой гео­ метрии (см. стр. 40 упомянутой статьи об аксиоматическом построе­ нии геометрии в IV книге ЭЭМ). Вопрос о доказуемости или недоказуемости V постулата полностью совпадает с вопросом о доказуемости или недоказуемости аксиомы параллельности (аксиомы Плейфера). % 0 0 г 9 2 ) Ясно, что если сумма внутренних односторонних углов ВАС и DC А , образованных прямыми АВ и CD с секущей АС, б о л ь ш е и л и р а в н а 180°, то лучи АВ и CD не могут пересечься: ведь если бы они пересеклись в точке Р, то внешний угол треугольника АСР при вершине А был бы меньше не смежного с ним внутреннего угла ACP а еще Евклид до­ казал, что во всяком треугольнике внешний угол больше внутреннего, с ним не смежного,— причем доказал это, н е о п и р а я с ь на V по­ стулат! *) Дж. Плейфер заменил V постулат допущением о существовании в плоскости единственной параллели к а, проходящей через точку А , не принадлежащую прямой о, в выпущенном им «школьном издании» «Начал» Евклида, т. е. в обработке «Начал», призванном играть роль учебника геометрии для английских школьников. (Подобные «школьные издания» Евклида, в которых роль V постулата, как правило, играло допущение Плейфера, были повсеместно распространены в английских школах еще в первой четверти нашего века.) T г