* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
386
МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Если равенство (69) имеет место, то вектор г , - — Г у = р л у — л е ж и т в (двумер ной) плоскости, (вполне) ортогональной ((я—2)-мерной) плоскости АА . . . ^ i _ i i 4 , - ...AJ_ AJ . . . Л„, откуда вытекает равенство (67). С другой стороны, если ребро AJAJ, перпендикулярно ко всем ребрам грани, не содержащей вершин А \ и Лу, то вектор г,-—Гу лежит в двумерной плос кости, перпендикулярной к плоскости Л Л , . . . A / _ i A / + i . . . Л у Л у ц . . .А \ поэтому он выражается через линейно независимые векторы щ и Яу этой плоскости, т. е. п—/ -=ая -- -Рл/, и, значит, условие (69) при не которых к(=—а) и |х( = р) наверное имеет место. Из доказанного следует также, что каждая грань (любого числа измерений, большего 1) ортоцентрического симплекса сама является ортоцентрическим симплексом. Ортоцентрические симплексы обладают многими замечательными свой ствами, своеобразно обобщающими свойства треугольника плоскости ) .
0 Х +1 1 +1 0 в 1 П , / | г 1
4.4. Многогранники и теорема Эйлера. Будем называть много гранником пространства Е* фигуру, состоящую из конечного числа многогранников в гиперплоскостях этого пространства (эти много гранники называются гранями многогранника пространства Е ) , расположенных так, что: 1) любая грань каждого из этих многогранников является гранью еще одного и только одного многогранника (называемого смежным с первым); 2) для любых двух граней а и Р можно указать такую цепочку граней сс а , . , а , что грань а смежна с a грань а смежна с а , . . . , грань а смежна с 0; 3) если грани а и Р имеют общую вершину А, то выбор гра ней a ocj, a , о которых говорится в предыдущем пункте, можно осуществить так, чтобы все они имели ту же вершину А. Определив таким образом многогранники пространства £ , мы далее определим тем же путем многогранники пространства £ , и, повторяя это определение несколько раз, определим многогран ники в любом пространстве Е". Вершины и Л-мерные грани граней многогранника называются соответственно вершинами и k-мерными гранями многогранника. Будем называть многогранник пространства Е выпуклым, если все его вершины, не принадлежащие произвольной его грани, рас положены п о о д н у с т о р о н у от гиперплоскости этой грани. Точнее, выпуклый многогранник характеризуется тем, что если уравнение гиперплоскости какой-либо его грани имеет вид (8), то для радиусов-векторов Х всех вершин М многогранника, не при надлежащих этой гиперплоскости, число ux -\-v имеет о д и н и т о т ж е знак. В п. 1.3 статьи «Многоугольники и многогранники», помещенной в кн. IV ЭЭМ, была доказана т е о р е м а Э й л е р а для выпуклых
4 1( 2 А l f х 2 к l9 f ft 4 Б п Л а a
) См., например, статью: Г. П. К р е й ц е р и Г. И. Т ю р и н . Сферы Эйлера ортоцентрического симплекса, Сборник «Математическое просвещение», вып. 2, 1957, стр. 187—194.
х
