* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

МНОГОГРАННИКИ 385 разованную гранями тетраэдра «крышу», подобную той, которая изображена на рис. 21, б. Однако в частных случаях число сфер, касающихся всех граней n-мерного симплекса, может оказаться и меньшим 2", и выяснение условий, гарантирующих то или иное число «вписанных сфер» (точнее, «вписанных и вневписанных сфер») симплекса представляет собой содержательную задачу. Наконец, высотой л-мерного симплекса, опущенной из вершины Л,- на грань А А ... Af^xAi+i... А , естественно назвать прямую, проходящую через точку И/ и перпендикулярную к гиперплоскости А А ... Aj_ Ai ... А (ср. выше стр. 382). л-мерный симплекс, все л высот которого пересекаются 0 Х п 0 г x +1 п Рис. 21. в одной точке, называется ортоцентрическим, а точка пересечения высот — ортоцентром. Если принять ортоцентр симплекса за начало отсчета векто­ ров, то для радиусов-векторов г , г г„ вершин А& А А симпле­ кса будем иметь: 0 г х п r iJ_гиперплоскости А А 0 г ... А _ А( ... { г +1 А, п откуда вытекает, что П {rj—гь) = 0, или г,Гу= /•,•/> где I, /, k = 0, 1, . . . . л и все различны. Из последнего равенства следует, что nr =r r f k £t где i, /, k, 1 = 0, 1, . . . . л и все различны, откуда в свою очередь следует, что ._ ).(r _ ) 0 (67) ( r r / f e r £ = (ибо r ri k = rir = r j r = r f ) . t k e Таким образом, мы видим, что если высоты симплекса пересекаются в одной точке, то любые два ребра, не выходящих из одной вершины, пер' пендикулярны; отсюда вытекает также, что любые две грани ортоцентрического симплекса, не имеющие общих вершин, (вполне) перпендикулярны. Нетрудно убедиться, что и обратно, если любые два ребра симплекса, не выходящих из одной вершины, перпендикулярны, то симплекс—ортоцентри- ческий. В самом деле, уравнения высот симплекса, проведенных через вер­ шины Ai и Aj, имеют вид г = г - + Яп,- и r=rj+\inj, (68) где щ±(А А ... A^Ag+x ... А ) и п/^_(А А ... А^ А ... А )\ поэтому n лу_[_(А А . . . i 4 / _ i i 4 - . . . Aj_ Aj+ . . . А ) (где мы считаем i < / ) . Для того чтобы высоты (68) пересекались, необходимо и достаточно, чтобы при некоторых значениях Л и р , 1 ь г п ь г г /+1 п h 0 Х ( + 1 x х п n + Kn^rj+iinj. 13 Энциклопедия, кн. б (60)