* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

384 МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА симплекса; так, например, 6 плоскостей, проведенных через середины ребер тетраэдра перпендикулярно к этим ребрам, пересекаются в одной точке — центре описанной сферы тетраэдра (см. рис. 19, б). Аналогично этому можно обобщить на симплекс теорему о точке пере­ сечения биссектрис треугольника. А именно, нетрудно убедиться в существо­ вании «вписанной сферы» л-мерно­ го симплекса А А ... А касаю­ щейся всех его граней. Назовем р-биссектрисой симплекса множе­ ство точек, равноудаленных от р фиксированных граней симплекса (это множество представляет собой (л—р+1)-мерную плоскость, про­ ходящую через (л — р)-мерную грань, общую рассматриваемым р граням, и образующую с этими р а) гранями одни и те же углы то Рис. 19. можно утверждать, что С{| р-мер­ ных биссектрис симплекса (где р может быть равно 1, 2, . . . или р—1) пересекаются в одной точке—центре вписанной сферы симплекса. Однако это предложение нуждается в некоторых уточнениях, делающих тему о вписанной сфере (точнее о вписанных сферах!) симплекса достаточно интересной. Дело в том, что, говоря о вписанной сфере симплекса, мы все время имели в виду сферу, заключающуюся целиком в н у т р и симплекса, т. е. такую, центр которой лежит от каждой грани симплекса по ту же сторону, что и не принадлежащая этой грани вершина (это означает, что если урав­ нение гиперплоскости грани имеет вид (8), то выражения их -\-о и UXQ+V, где Х(—радиус-вектор не принадлежа­ щей рассматриваемой грани вершины Ai симплекса, a XQ—радиус-вектор центра Q вписанной сферы, имеют один знак). При этом все сказанное выше оказывается верным, с тем лишь уточ¬ нением, что р-биссектрисой симплек­ са теперь приходится считать не ( л — р + 1)-мерную плоскость, как ранее, а (л—р+1)-мерную полуплоскость, ограни­ ченную^—р)-мер ной гранью симплекса. Если же не требовать того, чтобы «вписан­ ная» сфера лежала внутри симплекса, Рис. 20. то роль р-биссектрисы симплекса будет играть объединение 2 (л—р-\- 1)-мерных плоскостей; при этом С? р-бнссектрис будут, вообще говоря, пересекаться в 2 точках, равноудаленных от всех граней симплекса и являющихся центра­ ми сфер, касающихся всех его граней,—так, например, существуют четыре окружности, касающиеся всех сторон треугольника (рис. 20), и до восьми сфер# касающихся всех граней тетраэдра: одна вписанная сфера, четыре (или мень­ ше) вневписанных сфер (см. рис. 21, а) и три (или меньше) сфер, вписанных в обь г т ( р я ) Нетрудно видеть, что из k углов Л-мерной плоскости и гиперплоскости (см. выше, п. 2.5) k—1 углов наверное равны нулю, так что здесь имеется, по существу, о д и н угол (вполне определяемый углом, образуемым этой А-мерной плоскостью с прямой, перпендикулярной к гиперплоскости). г