* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

378 МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Поэтому при п = 2, 3, 4 и 5 имеем: * (г) = лг , 2 2 v (r) = i n r » e 2 f * (г)=4-я*>\ 4 « (г)=^я"г» в и 2 (г) = 2лг, 2 2 (г) - 4 л г , Э 2 (г) = 2л*г , 4 я Е (г) 6 Проверить эти формулы можно при помощи элементарного интегриро­ вания: нетрудно видеть (см. рис. 14), что +i С = ? „ ( 1 ) = $ " „ - i ( V T = S i ) Ас. в (56) -1 и легко убедиться, что, действительно, я +1 J "п-i iVT^)dx n l + 1 = C _ $[}TT=^*-*dx^C _ n 1 2 J cos Md« = C n n (57) -1 -1 7t 2 (ср., например, Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц , Курс дифференциального и инте­ грального исчисления, т. I I I , М., Фиэматгиэ, 1963, стр. 393). Формула же (55) без труда получается из того, что объ­ ем л-мерного симплекса (см. ниже, стр. 382) равен 1/л произведения (л— 1)-мерной пло­ щади его основания на высоту. Из формул (52) —(55) вытекает ряд осо­ бенностей л-мерных шаров и сфер, резко отличающих эти геометрические фигуры от привычных нам трехмерного шара и дву­ мерной сферы. Укажем здесь лишь один пример такого рода. Рассмотрим л-мерный шар радиуса 1 и отрежем от него тонкий «слой», ограниченный двумя параллельными гиперплоскостями, отстоящими от центра шара, скажем, на расстоянии 0,001. В трех­ мерном пространстве соответствующий слой будет иметь очень небольшой объем и по­ верхность ограничивающей его части сфе­ Рис. 14. ры также будет очень малой. Если, одна­ ко, число л измерений пространства очень велико, то объем такого слоя может оказаться лишь незначительно отличаю­ щимся от полного объема шара; также и часть поверхности сферы, заклю­ ченная между нашими плоскостями, при большом л будет по величине почти совпадать с площадью в с е й поверхности. Читатель, знакомый с интег­ ральным исчислением, без труда самостоятельно докажет эти утверждения. § 4. Многогранники 4.1. Параллелепипеды. Если в уравнении (5) параметры t будут пробегать не все действительные значения, а б у д у т ограничены условиями ( Х / ^ 1 , мы получим k-мерный параллелепипед (па­ раллелограмм прн k = 2). В дальнейшем мы будем рассматривать a в