* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ШАРЫ И СФЕРЫ 377 также еще через одну точку А', которая может и совпадать с точкой А; эта точка определяется тем, что векторы ОА = х—x и ОА' = х'—х коллинеарны (принадлежат одной прямой) и OA-OA' =>(х—JC )(*'—x ) = k. Гово­ рят, что точка А' получается из точки А инверсией с центром О н степенью k. Рассмотрим, наконец, произвольную сферу (44) (которая, в частности, при Д = 0 может обращаться в гиперплоскость). Инверсия с центром О и степенью k. которую можно записать так: Q 0 0 b *'- « *(iS& x = и л и *-*•=*(fcS удовлетворяющие уравнению 5 ( 5 0 ) переводят точки х сферы (44) в точки х\ которое можно также переписать в виде I л Axl+2Ak ^'- *о С*'—*о) + A . . ^ , „+2bx. + ^ а x x fe2 2k*}?- £+c-0. + Ak^O. п X или (Ax^bx^ix'-Xo^ + ^kiAx^^ix'-Xoi (51) Но последнее уравнение, очевидно, также имеет форму (44). Таким образом, инверсия переводит каждую сферу пространства Е снова в сферу. 3.3. Объем шара и поверхность сферы. Определив объем л-мерных тел пространства Е и (п—1)-мерную поверхность огра­ ничивающих эти тела поверхностей аналогично тому, как это де­ лается в трехмерном пространстве (ср. стр. 233 — 236 этой книги ЭЭМ), мы сможем вычислить объем v (г) г-мерного шара радиуса г и поверхность 2 „ ( г ) ограничивающей его сферы. При этом эле­ ментарные соображения размерности (см. стр.236 этой книги ЭЭМ) показывают, что п п v (r) = C r n n n (52) (53) И Z„(r) = c „ r - i . n Таким образом, задача заключается лишь в том, чтобы найти по­ стоянные С и с . Постоянные С были впервые определены К. Г. Я к о б и в ра­ боте, упомянутой на стр. 353. А именно, Якоби показал, что п п п ( Г = 2 'W* r ( 5 4 B J 2 . 4 - 6 . . . (л —2) п v I-Q-E 1 7 m- П Р И г п нечетном. (55) 1 - 3 - 5 . . . (л — 2) л Далее, при любом п с„ = пС . п