* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

376 МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА уравнением (43) сферы, мы находим квадратное относительно t уравнение (x + et—* ) — ' = 0 , (46) корни t и t которого отвечают точкам пересечения прямой (45) со сферой (43). [Попутно—уравнение-то квадратное!—мы убеждаемся, что прямая пересекается со сферой не более чем в двух точках.] При этом 2 я x 0 x 2 МА ЖЁ = t е- t e = t t . е* = t t х 2 x 2 x 2t так что интересующее нас произведение равно произведению корней урав­ нения (46). Но это уравнение можно переписать так: t + 2е (х - х ) t + (х - * j - г = О (напоминаем, что ^ = 1 ) , откуда следует, что произведение его корней равно 2 2 2 х 0 х 0 'i'2 = ( * i - * ) - ' 0 2 s (47) Независимость полученного выражения от вектора е и доказывает, что сте­ пень точки относительно сферы зависит лишь от этих точки и сферы, но не от выбора проходящей через точку прямой /. Пусть теперь мы имеем две (неконцентрические) сферы S и S с цент­ рами 0 и 0 и радиусами г и г . Если точка х имеет равные степени относительно сфер S и 5 , то [х—х ) —rj = ( j t — х ) — г , или x 2 Х 2 х 2 x 2 х й 2 2 2 2х ( * 2 - * х ) + (г\ - г ) =0. 2 (48) Но это есть уравнение г и п е р п л о с к о с т и пространства перпенди­ кулярной к прямой 0 0 . Таким образом, множество точек, степени которых относительно сфер S и S равны, представляют собой гиперплоскость (48), перпендикулярную к линии центров сфер. Нетрудно убедиться, что если сферы S и S пересекаются, то гиперплоскость (48) содержит сферу (на единицу меньшего числа измерений), по которой пересекаются S и 5 . Гиперплоскость (48) называется радикальной гиперплоскостью сфер S и 5 . Аналогично этому множество точек х, имеющих одинаковые степени относительно k сфер 5 S , . . . . S с центрами O (x ) 0 ( х ) , O (x ) и радиусами г , г , , r , описывается системой уравнений Х 2 x 2 x 2 x а x 2 1( 2 k x x t 2 2 k k х 2 k 2дс(дс -дс ) + ( г - г ) = 0 , 2 1 2 2 2х ( J C - JC ) + 8 x ( г - гI ) 2 = l 0. ( 4 9 ) 2x(x -x ) k x + (r*-r[ )=0. В общем случае эта система уравнений отвечает ( л — k + 1)-мерной плоско­ сти (ср. выше уравнения (9)), перпендикулярной к (k—1)-мерной плоскости, задаваемой точками О 0 , O . Эта плоскость называется радикальной плоскостью k сфер S S 5ft. В частности, при k = n+l (0-мерная) плоскость (49) представляет собой т о ч к у . Эта точка называется радикаль­ ным центром л + 1 сфер. Множество сфер S, каждые k из которых (где k может иметь значение 2, 3 или л + 1 ) имеют одну и ту же ((л—Л + 1)-мерную) радикаль­ ную плоскость, называется (k— \)-мерным пучком сфер. [При этом от пучка сфер требуют,- чтобы к нему нельзя было прибавить ни одной сферы с тем, чтобы по-прежнему выполнялось определяющее пучок условие.] л-мерный пучок сфер называется также связкой. Связку сфер можно также определить как множество сфер, относительно которых фиксированная точка О (центр связки) имеет фиксированную степень k (степень связки). Пусть теперь заданы связка сфер с центром О и степенью Л^О и неко­ торая точка А. Все сферы связки, проходящие через точку Л» проходят ъ 2 k lf 2