* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

370 МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА плоскости N и TV—одну размерность /) таковы, что расстояние между М и TV равно расстоянию между Ж и TV и углы между М и N равны углам между Ж и ЛГ, то существует такое движение про­ странства Е которое переводит плоскость М в плоскость М и п 9 плоскость TV в плоскость TV. На доказательстве этого ут­ верждения мы не остано­ вимся ) . 1 Стационарные углы между плоскостями М и T простран­ V ства Е можно описать следую­ щим образом. Предположим, что плоскости М н T проходят через V одну точку О, н рассмотрим все­ возможные единичные векторы а и Ь плоскостей М, соответствен­ Рис. 8. но TV, отложенные от точки О. Ко нцы эт их век то ров за пол н ят «единичные сферы» S и 5 пространств М и T (понимаемых как про­ V странства Е* и Е ; ср. ниже, §3). Угол между векторами а и Ь определяется расстояниями между их концами; таким образом, наша задача состоит в определении характерных расстояний между двумя (концентрическими) сферами Si и 5 пространств Е и Е . Естественно характеризовать взаимное расположение наших двух сфер наибольшим и наименьшим расстояниями между ними; существование таких расстояний вытекает из замкнутости сфер (ср. стр. 202—206 этой книги ЭЭМ). Но более полно описывает взаимное расположение сфер система с т а ц и о ­ н а р н ы х расстояний между ними. При этом расстояние А Я (где точка А принадлежит сфере S а точка В —сфере 5 ) называется стационарным, если для любых точек А и В сфер S\ и S расстояние Л В н е больше (или не меньше) А В и не больше (или не меньше) Л В . Смысл понятия стационарных расстояний заключается в следующем. Стационарными значениями (достаточно «гладкой», скажем, дифференциру­ емой) функции z=f(x y) двух переменных хну (разумеется, соответст­ вующее понятие можно определить и для функций большего числа пере­ менных) называются значения ее в тех точках, в которых касательная к поверхности z=[ (x у) параллельна (х ^-плоскости. Разумеется, к числу стационарных значений функции относятся ее наибольшее (рис. 9, а) и нап x а 1 к г 2 0 0 0 lt 0 2 2 0 0 0 0 t t % *) Пусть А В и А В —общие перпендикуляры пар плоскостей М и TV, М и TV; а\ а\ и Ъ\ . . . . 6?, соответственно Ъ\ а\ и Ъ\ Ь\ —векторы плоскостей Т и TV, Т и 7?, определяющие стационарные углы И Й между этими плоскостями (эти векторы удобно отложить от точек А ^В » соответственно А и В ). Можно доказать, что если A B =A B и 0 Ь ь 0 9 0 0 0 0 0 Q Q 0 * *)=£(af, &?)» '=1,2 k то существует движение пространства^, переводящеее отрезок А В в отрезок Д В н векторы а° а\\ b\, в векторы "aj, а£; Ь\, .... bf Это движение и переводит плоско­ сти М п N в плоскости М и t 0 0 0 0 ь