* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

369 и плоскости В плоскостях М и N можно выделить к и / взаимно перпенди­ кулярных направлений, задаваемых векторами а ° а , . . . , а £ , со¬ ответственно b\ bt, . ., й/, так что при i^=j Z ( ? > &°) = я / 2 , а в с е углы ф! = ^ (а° bl), ф = Z (*!. • • •. Ф = Z А являются стационарными (см. ниже, стр. 372). Углы ф , ф , . . . , Ф и называ­ ются углами между плоскостями М и N\ таким образом, в про­ странстве Е взаимное расположение 6-мерной плоскости М и /-мер­ ной плоскости N (где k^l) характеризуют k углов. При этом в качестве ч и с е л , характеризующих взаимное расположение пло­ скостей М и N, удобнее брать не сами углы ф,., а квадраты их косинусов: а - = соБ ф - (где / = 1, 2, . . . , 6), — в самом деле, если Ф, = Z ( ? > — стационарный угол, то также и Z ( — ? > ^?)> Z ( e ? —bf) и Z ( — ? » ~~ являются стационарными углами, причем этим четырем (несущественно отличающимся друг от друга!) углам отвечает о д н о значение величины а = с о з ф - . Если k = l= 2, то стационарные углы отвечают наибольшему и наименьшему зна­ чениям угла ф = ^ ( 1 Ь) (точнее, величины а = cos ф), где anb — векторы плоскостей М и N (ясно, что если Z ( ° ° » ^°)> скажем, н а и м е н ь ш и й угол между плоскостями, то для любых векторов а и b плоскостей М и N имеют место неравенства Z ( » ^ 0 f l y и 2 х 2 Л п 2 1 | a в e f 2 1 | 0 2 fl0 ПЫ Р Е Я М &) a и Z( f l 0 . * ° ) < Z ( * » *°))- Т а к » н а Р г и с 8 изображены 2 стационарные углы двух 2-мерных плоскостей в трехмерном про­ странстве где всегда одно из двух чисел а и а равно 1; в пространстве же Е , где л > 3 , вообще говоря, ни один из ста­ ционарных углов между двумя 2-мерными плоскостями не равен О (или л ) . Если fe>2, то к числу стационарных углов между пло­ скостями М и N, как правило, будут относиться и такие углы Z (в°> » скажем, для любых векторов а и b плоскостей М и N имеют место неравенства Z ( > < Z ( °» Z( >^°)> > Z ( » ^°)» Z( °» является ни наибольшим, ни наименьшим. Если плоскости Ж и N ^--параллельны, то р из k уг­ лов между этими плоскостями равны 0 (или я ) , т. е. р величин щ обращаются в 1. Если плоскости М и N у -перпендикулярны, то п ч т 0 fl0 a и f l 0 a т а к 4 X 0 a н е q углов между этими плоскостями равны я / 2 (т. е. q величин щ равны 0). Так, например, из двух углов между перпендикулярными плоскостями трехмерного пространства один равен 0, а второй я / 2 (см. рис. 8, б). Углы между плоскостями М и N и расстояние между пло­ скостями образуют полную систему инвариантов двух плоско­ стей, полностью .характеризующих их расположение друг отно­ сительно друга. Это означает, что если две пары плоскостей М и N, М и N (где плоскости Мм М имеют одну размерность 6, а