* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

356 МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА содержащая плоскость N и точку М : эта плоскость определяется произвольными fe-f-1 точками плоскости N и точкой М . Рассматри­ вая (к-\- 1)-мерную плоскость как пространство £ * , мы заключим, что через точку М этого пространства проходит единственная пря­ мая, перпендикулярная к ги­ перплоскости N пространства Е . Отсюда вытекает, что че­ рез каждую точку М простран­ \ Й ства Е проходит единственная 4 и прямая, пересекающая пло­ скость N и перпендикулярная ко всем прямым этой плоскости, или, как мы будем говорить, пер­ пендикулярная плоскости N. Рис. 1. Точка М пересечения этой пря­ мой с плоскостью N называется проекцией точки М на плоскость N, а множество проекций всех точек некоторой фигуры Ф на плоскость N—проекцией на N фигуры Ф (см. рис. 1, на котором изображена проекция треуголь­ ника пространства Е на прямую). 0 0 + 1 0 к+г » 0 п г 0 3 Если и—какой-либо вектор, перпендикулярный ко всем векто­ рам а а , - . - , 0 - i > i умножив обе части уравнения (5) гипер­ плоскости (где k = n— 1) скалярно на вектор «, мы получим уравнение их = ах . Обозначив теперь скалярное произведение их через — , Ф мы придадим этому уравнению форму T O и 2 n 0 0 ux + v = 0. (8) Это — векторное уравнение гиперплоскости. 6 случае, когда базисные векторы е единичны и взаимно пер­ пендикулярны, уравнение (8) можно переписать в координатной форме { "1*1 + * Л + • • • + V „ + ^ = 0, (8') т. е. в виде линейного уравнения. Так как всякое линейное урав­ нение (8') в этом базисе может быть записано в виде векторного уравнения гиперплоскости (8), а переходу от одного векторного базиса к другому соответствует линейное преобразование коорди­ нат векторов, при котором линейное уравнение переходит в линей­ ное, мы получаем, что всякое линейное уравнение в пространстве Е при любом векторном базисе этого пространства является уравнением гиперплоскости. Совершенно аналогично для 6-мерной плоскости (5) при любом k можно найти п — к линейно независимых векторов U и ..., 1* , каждый из которых перпендикулярен ко всем векторам а , а , • • -* /г Умножая обе части уравнения (5) скалярно на каждый из п fc+lt к+2ш п а х 2