* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

302 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ между сторонами угла, делится в точке L пополам (рис. 67) *). В самом деле, пусть а*— прямая, обладающая указанным свой­ ством, и а—другая прямая, проходящая через точку L и пере­ секающая стороны угла АОВ в точках С и D. Тогда при обозначениях, указанных на рис. 68 (где LE=L€ и Д£СС* = /\,LD*E): S&OCD SoCLD* = -\~SDLD* >SQCLD* + LD, то доказательство анало­ гично). Итак, указанная прямая а* действительно отсекает тре­ угольник наименьшей площади. Но, согласно сказанному выше, отсека­ ющая наименьший треугольник пря­ мая должна в точке L касаться проходящей через L гиперболы с асимптотами OA и ОВ. Сопоставляя эти факты, мы приходим к следую­ щему известному свойству гипербо¬ Рис. 67. лы: отрезок касательной к ги­ перболе, заключенный между ее асимптотами, делится точкой касания пополам (рис. 69; ср. ниже стр. 597). Возвращаясь теперь к случаю произвольной кривой L (см. рис.66), мы заключаем, что касательная а* к линии L , отсекающая от угла АОВ треугольник наименьшей (наибольшей) площади, ка¬ сается линии L в такой точке Q*, что отрезок прямой а*, *) Существует т о л ь к о о д н а проходящая через L прямая а*, отре­ зок которой, заключенный между сторонами угла АОВ, делится в точке L А Рис. 68. пополам. Для построения этой прямой следует на прямой OL отложить отрезок LK = 0L и через точку К провести прямые, параллельные сторо­ нам угла АОВ (рис. 68).