* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ 285 функция / хотя бы в одной точке принимает положительное (отри­ цательное) значение, то она достигает максимума (минимума). Аналогично, если lim f{x х . . . , х ) = + оо, когда точка (x JC , . . . , л: ) стремится к границе области G или «уходит в бесконечность», то функция / достигает минимума. Наконец, если дифференцируемая функция f (x х . .. х ) достигает максимума или минимума во внутренней точке ее области определения, то в этой точке все частные производные l9 23 п l9 2 п lt гъ п 21 дх * х дх* ' ' 9 dl дх п обращаются в нуль. 1.4. Условные максимумы и минимумы. В различных вопросах математики и, в частности, в геометрии часто встречаются задачи следующего рода. В области определения G непрерывной функции / дана некоторая линия (или поверхность) L ; требуется из всех точек линии L выбрать такую, в которой функция / принимает наибольшее (или наименьшее) значение. Иными словами, требуется найти максимум (или минимум) функции / , рассматривая не все точки ее области определения, а лишь те из них, которые удо­ влетворяют некоторому дополнительному условию (условию при­ надлежности данной линии или поверхности). Поэтому задачи такого рода называются задачами на у с л о в н ы й максимум или минимум. Общую постановку задачи об отыскании условного максимума или минимума мы проиллюстрируем следующим примером. Пусть на плоскости заданы (гладкая!) линия L и не лежащая на ней точка А. Требуется на линии L найти ближайшую к А точку X. Для решения этой задачи обозначим через (а, Ь) координаты точки А, а через (х, ^ — координаты произвольной точки X. Тогда расстояние АХ выразится формулой АХ= У(х-а)* + {у— b)\ Таким образом, нам требуется найти минимум функции Я * . У) = V(x-a? + (У-b) 2 при условии, что точка (>:, у) находится на заданной линии L . Это — типичная задача на условный минимум. Для ее решения мы поступим следующим образом. Множество всех точек (лг, у), находящихся на расстоянии h от точки А т. е. л и н и я у р о в н я 1 функции f(x у), представляет собой окружность радиуса h с центром в точке А. При малом h эта окружность не имеет общих точек с линией L (рис. 26). Будем увеличивать h до тех пор, пока окружность l не заденет линию L . Иными словами, мы рассмотрим окружность / * н а и м е н ь ш е г о радиуса, имеющую л Н t h