* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

282 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ области О, причем если точка (л:, у) приближается к границе об­ ласти G или «уходит в бесконечность», по любой линии, лежащей в области G, то значения функции f{x, у) приближаются к нулю. В таком случае, если функция f{x у) хотя бы в одной точке области определения принимает положительное (отрицательное) значение, то она обязательно достигает максимума (минимума). Отметим еще, что если l i m / ( j c , у) = = + оо, когда точка (л;, у) приближа­ ется к границе области G или «ухо­ дит в бесконечность», то функция /(•*> У) непременно достигает мини­ мума. Пусть функция z = f{x у) дости­ гает в точке (лс , у ) своего наиболь­ шего значения, которое мы обозначим через z : t < f 0 0 0 * о = / ( * о . -Уо)- Рассмотрим плоскость z = z (парал­ лельную плоскости лг, у). По опреде­ лению наибольшего значения, ни одна Рис. 22. точка графика функции z=f (x, у) не лежит выше этой плоскости. Другими словами, плоскость z = z является о п о р н о й п л о с к о с т ь ю гра­ фика функции z = /(дг, у) (ср. стр. 192 этой книги ЭЭМ). Если при этом точка {х у ) является внутренней точкой области определения функции, а поверхность, служащая графиком функции z=f(x у)> имеет в точке (JC , y z ) к а с а т е л ь н у ю п л о с к о с т ь , то эта касательная плоскость должна совпадать с плоскостью z — z (рис. 22). Читатель, знакомый с уравнением касательной плоскости к поверхности z=f(x у) в точке ( J C y z ) (оно имеет вид 0 0 09 0 t 0 ot 0 0 y 0I 0f 0 г - г = к х-х )+к,(у-у ), где ^ - g ^ * = | ^ J . легко выведет отсюда следующее важное предложение: для того чтобы дифференцируемая функция z=f{x, у) принимала наиболь­ шее значение во внутренней точке (х , у^) ее области определе¬ ния, необходимо выполнение равенств 0 1{ 0 0 2 0 Ё1 дх х=х 0 = 0 9 Щ ду\ =х х 0 =о У-Уь У=У* Эти условия можно вывести и другим путем. В самом деле, если функ­ ция / ( * , у) достигает наибольшего значения во внутренней точке (х , у ) своей области определения, то f(x y )^f(x, у) для любой точки (х, у), принадлежащей области определения. В частности, f(x y )^f(x. Уо)* если только точка (х, у ) принадлежит области определения. Но это озна­ чает, что функция <р(*)=/(*, Уо), зависящая только от о д н о г о перемен0 0 0t 0 0t 0 0