* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ 281 Пусть (х , у ) — некоторая точка, принадлежащая области определения функции z=f(x, у). Говорят, что функция z дости­ гает в точке (дг , y ) своего наибольшего значения, или максимула, если для любой точки (дг, у) из области определения функ­ ции справедливо неравенство г г 1 L Л * 1 . Ух)^/(х, у). минимум). z=/(дг, у) Аналогично определяется наименьшее значение (или Как и в случае функций от одного переменного, функция может достигать максимума (или ми­ нимума) более чем в одной точке и даже в бесконечном множестве точек. Например, функция z = \ \ —х —у \ достигает минимума (равного нулю) во всех точках некоторой линии, а именно, во всех точках окружности 2 2 Может также случиться, что функ­ ция z=f(x, у) ни в одной точке своей области определения ие дос­ тигает максимума (или минимума). Приведенная на стр. 272 теорема Рис. 21. сохраняет свою силу и для функ­ ций от двух переменных и формулируется в этом случае сле­ дующим образом. Если функция z=f(x, у) непрерывна и ее область определения является замкнутой и ограничен­ ной, то эта функция обязательно достигает максимума и минимума. При этом свое наибольшее значение функция может принимать как во внутренней точке области определения, так и в: ее граничной точке (т. е. в точке, принадлежащей граничному контуру области определения). То же относится и к наименьшему значению. В некоторых случаях можно гарантировать существование наи­ больших или наименьших значений также и у функций, области определения которых не являются замкнутыми и ограниченными. Пусть, например, область определения G непрерывной функции z=f(x, у) о т к р ы т а и ограничена, причем значения функции f{x, у) приближаются к нулю, когда точка (х, у) произвольным образом приближается к границе области G. В таком случае, если функция f(x, у) хотя бы в одной точке области принимает поло­ жительное значение, то она непременно достигает максимума, а если она хотя бы в одной точке принимает отрицательное значе­ ние, то непременно достигает минимума. Аналогичное утверждение верно и для неограниченных областей. Именно, пусть z=f(x, у) — непрерывная функция, определенная в неограниченной открытой