* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

238 ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА которое и дает выражение для площади фигуры F -\-F . Разуме­ ется, это равенство есть лишь иная форма о п р е д е л е н и я сме­ шанной площади, и до тех пор, пока у нас нет какой-либо иной информации о смешанной площади, это соотношение бесполезно. Точного выражения смешанной площади s(F , F ) через пло­ щади s(F ). s(F ) не существует. Однако справедлива следующая весьма важная теорема, оценивающая величину смешанной пло­ щади (эта теорема была доказана в конце XIX столетия немец­ кими математиками Г. Б р у н н о м и Г. М и н к о в с к им): Т е о р е м а . Для любых (двумерных) выпуклых фигур F F x 2 x 2 x 2 lt 2 справедливо неравенство s(F F ) ^ )fs (F ) - s (F ); равенство достигается лишь в том случае, если фигуры F и F равны и параллельно расположены или гомотетичны. Следует заметить, что смешанная площадь не меняется при параллельном переносе одной (или обеих) фигуры F , F , но может существенно измениться при повороте одной из этих фигур. (Отсюда видно, что только п л о щ а д я м и фигур F F смешанная площадь s(F , F ) не опре­ деляется.) В качестве примера рассмотрим смешанную площадь s(F, С ), где С —круг радиуса г. Сумма F-\-C есть г-окрестность фигуры F. В случае, если F — выпуклый многоугольник, его г-окрестность F-\-C разбивается на три сорта частей: сам многоугольник F, прямоРис. 115. угольники высоты г, построенные на сторонах F, и секторы, составляющие вместе круг ра­ диуса г (рис. 115). Сумма площадей указанных прямоугольников равна, очевидно, /-г, где / — периметр многоугольника F\ сумма же площадей секторов равна я г , т. е. равна s (C )> Итак, s(F-{-C ) = = s(F)-{-lr-{-s(C ) где /—периметр фигуры F. Формула эта спра­ ведлива для любого выпуклого многоугольника, а потому и вообще для любой двумерной выпуклой фигуры (ср. теорему на стр. 235). Теперь мы легко определим смешанную площадь: lt 2 t 2 x t x 2 Xl 2 x 2 г г r r 2 r r r 1 s(F, C ) = ±[s (F+C )-s(F)-s r r (C )] = i - /г. r Рассмотренный пример вычисления смешанной площади приво­ дит к очень важному результату. Именно, в силу теоремы Брунна—Минковского, мы имеем: (s(F, C )) ^s(F)-s(C ), r r 2 т. е. ^ любой 5 г Irj*^ дву­ 2 ^S(F) мерной я г . После упрощения мы получаем, что для выпуклой фигуры F имеет t а место неравенство Равенство ^4~' » дости- где I — периметр фигуры F a s — ee площадь.