* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ВЫПУКЛЫЕ ТЕЛА В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 239 г гается лишь в том случае, если фигура F гомотетична С , т. е. если фигура F является кругом. Чтобы яснее представить себе смысл полученного неравенства, будем считать, что фигура F не является кругом, и обозначим через К круг, имеющий т о т ж е периметр /, что и фигура F. Радиус R этого круга находится из соотношения / = 2я/?, т. е. R — /, а площадь круга К равна nR 2 = n ( ' ) =-т—/ . s 2 Но ведь это как раз та величина, которая стоит в правой части на­ писанного выше неравенства. Таким образом, неравенство < - ^ Р (здесь неравенство строгое, так как фигура F но предположению отлична от круга) переписывается в виде s (F) <. s (К). Иными словами, площадь любой выпуклой фигуры, отличной от круга, м е н ь ш е , чем площадь круга, имеющего тот же периметр, т. е. из всех выпуклых фигур заданного периметра I наибольшую пло­ щадь имеет круг. Об этой интересной и важной теореме мы еще будем говорить в статье «Геометрические задачи на максимум и ми­ нимум»; в частности, там мы приведем другое ее доказательство, не опирающееся на теорему Брунна—Минковского. Теорема Брунна — Минковского имеет и другие интересные гео­ метрические приложения. Аналогичные результаты имеют место и для пространственных выпуклых тел. Мы на этих вопросах не останавливаемся. 9 § 5. Выпуклые тела в многомерных пространствах 5.1. Основные свойства. Для читателя, знакомого с понятиями много­ мерной геометрии (см. статью «Многомерные пространства» в этой книге ЭЭМ). мы укажем здесь основные факты, относящиеся к n-мерным выпук­ лым телам. Определение выпуклой фигуры в n-мерном евклидовом про­ странстве ничем не отличается от приведенных выше определений: фигура F выпукла* если вместе с каждыми двумя точками она содержит и весь сое­ диняющий их отрезок. В n-мерном пространстве существуют выпуклые фигуры разного числа измерений: одномерные, двумерные, трехмерные, ... /i-мерные. Выпуклое тело F называется k-мерным, если оно целиком лежит в некоторой Л-мерной плоскости, но не помещается ни в какой (k — 1)-мерной плоскости. В частности, выпуклое тело считается п-мерным, если оно не лежит ни в какой (п—1)-мерной плоскости. Это определение равносильно следующему: выпуклое тело л-мерного пространства назы­ вается n-мерным, если оно содержит (хотя бы одну) в н у т р е н н ю ю точку Л, т.е. такую точку Л, что шар некоторого радиуса с центром в точке А принадлежит рассматриваемому телу (ср. рис. 11). Выпуклые тела мы всегда будем предполагать замкнутыми. Все точки п-мерного выпуклого тела F (расположенного в п-мерном пространстве), не являющиеся его внутренними точками, называются его граничны­ ми точками. Совокупность всех граничных точек тела F называется его границей. Пусть F—некоторое n-мерное выпуклое тело в п-мерном пространстве. Гиперплоскость, содержащая хотя бы одну граничную точку тела F, но не