* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

194 ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА Если А—обыкновенная граничная точка выпуклого тела F, то через нее проходит единственная опорная плоскость 2, которой отвечает на сфере S е д и н с т в е н н ы й индикатор L . Если А—особая т о ч к а т и п а р е б р а (рис. 31), то все опорные плоскости, проходящие через точку А , проходят также через определенную прямую /д (ребро двугранного угла КА)- Поэтому все лучи /, перпендику­ лярные к этим плоскостям, будут перпендикулярны к прямой / д , а соответ­ ствующие индикаторы L располагаются на одной большой окружности Рис. 31. сферы S (высекаемой плоскостью, проходящей через О и перпендикулярной к прямой /д). Таким образом, в этом случае множество индикаторов, отве­ чающих опорным плоскостям, проходящим через точку А , представляет собой д у г у б о л ь ш о й о к р у ж н о с т и иа сфере S. Ясно, что если двугранный угол /Сд имеет величину а, то указанная дуга OA = L \ L стягивает центральный угол LfiL^,равный 180°—а. Пусть, наконец, А—особая точ­ к а т и п а в е р ш и н ы . В этом случае множество индикаторов, соответствую­ щих всевозможным опорным плоскостям тела F , проходящим через точку А , представляет собой уже не дугу, а це­ лую о б л а с т ь %А на сфере S Напри­ мер, если F—выпуклый многогранник Рис. 32. и А—его вершина, то множество тд будет сферическим многоу г о л ь и и ком, ограниченным дугами больших окружностей сферы S (рис. 32). Конус Тд с вершиной О и образующим множеством тд мы будем называть внешним углом тела F в точке А (можно доказать, что этот конус является выпуклым), а меру телесного угла этого конуса (т. е. площадь области тд, если радиус сферы S принять равным единице) будем называть величиной внешнего угла 7 д . (Величину внешнего угла Т А иногда также называют кривизной тела F в точке А.) Т е о р е м а . Всякое выпуклое тело имеет не более чем счетное число особых точек типа вершины. Сумма величин внешних углов в этих особых точках не превосходит 4л. Д о к а з а т е л ь с т в о этой теоремы очень близко к доказательству теоремы, сформулированной на стр. 189. Прежде всего устанавливается, что если А и В—две различны? особые точки типа вершины, то соответ­ ствующие области Тд и тд на сфере S не имеют общих внутренних точек %