* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

МЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫПУКЛЫХ ФИГУР 195 (доказательство этого аналогично доказательству, приведенному на стр. 100). Отсюда вытекает, что сумма площадей областей тд, т , о т в е ч а ю щ и х всевозможным угловым точкам типа вершины, не превосходит площади всей сферы 5 радиуса 1, т. е. не превосходит 4л. Из этого, наконец, мы заклю­ чаем, что множество особых точек типа вершины не более чем счетно. Заметим, что в случае выпуклого м н о г о г р а н н и к а F сферические многоугольники Т д , Тд, . с о о т в е т с т в у ю щ и е всем его вершинам, полностью покрывают всю сферу S и, следовательно, + • • • = 4 я , где уд, у — величины внешних углов в вершинах А, В, . . . многогранника F ( т е о р е м а о «сумме внешних углов» м н о г о г р а н н и к а ) ) . д в 1 § 2. Простейшие метрические характеристики выпуклых фигур 2 . 1 . Диаметр выпуклой фигуры. Пусть F — н е к о т о р а я плоская выпуклая фигура. Диаметром фигуры F называется наибольшее из расстояний между двумя ее точками. Например, в случае к р у г а диаметр в указанном з д е с ь смысле, очевидно, совпадает с обычным его диаметром (т. е. длиной наибольшей хорды). Д а л е е , пусть фигура F представляет собой полукруг (рис. 2, г); М и N—концы ограничивающей его полуокружности. Тогда ясно, что диаметром фигуры F является длина отрезка MN. Вообще, если фигура F представляет собой сегмент круга, ограниченный дугой / и хор­ дой я, то в случае, когда дуга / не превосходит полуокружности, ) Из установленного соотношения можно вывести новое доказательство известной т е о р е м ы Э й л е р а для выпуклых многогранников (см. ЭЭМ, кн. IV, стр. 390). Заметим прежде всего, что число сторон сферического многоугольника тд равно числу к ребер многогранника F , сходящихся в вершине А, а большие окружности, которым принадлежат эти стороны, лежат в плоскостях, перпендикулярных к ребрам многогранника F. Отсюда вытекает, что углы сферического многоугольника тд дополняют до л плоские углы многогранника F, сходящиеся в вершине А. Таким образом, сумма углов сферического многоугольника Тд равна kn—ад, где од—сумма всех плоских углов многогранника F, сходящихся в вершине А. В силу формулы для площади сферического многоугольника (см. ЭЭМ, кн. IV, стр. 539), отсюда вытекает, что площадь у многоугольника тд, т. е. величина внеш­ него угла А многогранника F, равна уд = (Ал—ад)—(k—2) я = 2 л — а д . Суммируя внешние углы, отвечающие в с е м вершинам, получаем: А 1 (2я—ад) + ( 2 л — а ) + - - - = 4 л , или 2 л В — ( а д + а +...) = 4л, где В—число вершин многогранника. Заметим теперь, что а д + О д + . . . — это сумма в с е х плоских углов многогранника F. Для каждой отдельной грани а эта сумма равна л ( л — 2 ) , где л —число сторон грани а. Таким образом, в в я а : о д + а + . . . = л ( « — 2 ) + л ( Л р — 2 ) + . . . = л (л + / ь , + . - ) — 2 я / \ в а в где Г—число граней многогранника Л а я,, л^, . . . — числа сторон раз­ личных его граней. Но ясно, что л + л + . . . = 2 Р , где Р—число ребер многогранника F . Окончательно получаем 2лВ—(2лР—2лГ) = 4л, т. е. Я — Р + Г = 2. х р 7»