* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

176 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ о равносоставленности многогранников А и В приводит к проти­ воречию. Тем самым теорема Хадвигера и вместе с ней теорема Дена полностью доказаны. 3.4. Независимость аксиом ( а ) — (б) для площадей и объемов. Методы, использованные при доказательстве теорем Дена и Хад­ вигера, тесно связаны с вопросом о н е з а в и с и м о с т и ) для площадей (или объемов). Рассмотрим вопрос о независимости этих аксиом для площадей многоугольников. Для установления незави­ симости каждой из аксиом (а) — (6) от остальных нужно для каждой из аксиом построить такую кмодель площади*/, которая этой аксиоме н е у д о в л е т в о р я е т , но удовлетворяет всем остальным аксиомам. Проще всего построить такую модель для аксиомы (6): положив 5*(М) = 45 (Af) для любого многоугольника М (где 5 означает обыч­ ную площадь, удовлетворяющую аксиомам (а) — (6)), мы получаем модель s*, очевидно, удовлетворяющую всем аксиомам, кроме (б). 1 ^Эта модель, очевидно, равносильна введению новой единицы площади, — для иой Без труда строится и модель, показывающая независимость аксиомы (Р): положив s** (М) = 1 для л ю б о г о многоугольника, мы получаем модель s**, удовлетворяющую всем аксиомам, кроме (Р). Сравнительно просто строится и модель, показывающая неза­ висимость аксиомы (у). Проведем на плоскости некоторую прямую /, которую будем называть ^горизон­ тальной». Прямая / разбивает пло­ скость на две полуплоскости, одну из которых условимся называть «верхней», а другую—«нижней». Пусть теперь М—произвольный многоугольник, заданный на пло­ скости. Прямая / разбивает его па Рис. 40. две части: часть М расположен­ ную в зверхнейэ полуплоскости, и часть М н> расположенную в «инжнейл полуплоскости (рис. 40). Мы положим: s*** (М) — s (Ai ) + 2s (M ) где s означае г обычную площадь. Если многоугольник М целиком расположен в «верхней/* полуплоскости, т. е. Л/ = М , то s*** (М) = s (Ж), а если он распо­ ложен в «нижней* полуплоскости, то s***(Afl) = 2s(Af). Без труда ю B H f В * единицей площади является квадрат со сторо- ) О понятии независимости аксиом и используемом ниже понятии м о д е л и см. статью «Аксиомы и основные понятия геометрии» в кн. IV ЭЭМ. 1