* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОГРАННИКОВ = 175 o t 0 ному углу а соответствующего ребра: Y i + Y / + • • • + Yj а — я (рис. 39, а), или углу а — я (т. е. Y/ + Y / + • - • 4"YJ — 5 может случиться, если угол а — тупой, см. рис. 39, б). В обоих случаях и м е е м : / ( Y « ) + / ( Y > ) + • • • + / ( Y s ) / ( ) > и выражение (31) оказывается равным т/(а), т. е. весу рассматриваемого звена в многогранни* ке А. Итак, сумма, стоящая в правой части соотношения (30), равна сумме ве­ сов всех звеньев многогранника Л, т. е. равна инварианту /(А). Доказательство теоремы Х а д в и г е р а . Допустим, что многогран­ ники А и В равносоставлены, и пусть M М>, . , , М — такие многогранники, из которых можно составить как А, так и В. Все внутренние двугранные углы всех многогранников М , М , М обознаРис. 38. чим через Yn Y21 •••> Y - Согласно лемме 7, аддитивную функцию (6), заданную для чисел (5), можно дополнить числами / ( Y i ) , / ( у ) . • • • » / ( y H » получим аддитивную функцию для чисел я , a 0^, а Р р , э т = a l9 п г г п r т а к ч т о м ы 2 l9 р7 1 ( 2 P, у , у , у . (Эта аддитивная функция по-прежнему удовлет­ воряет условию (7)). Так как многогранник А составляется из мно­ гогранников M M М то (лемма 8) инвариант /(А) имеет значение f{A)=f(M )+f(M )+ . . . +/{М ). Но многогранник В также составляется из М М , Ж„, и потому /(В)=/(М )-\+ + Таким образом, / ( Л ) = / ( В ) , что проти­ воречит соотношению (8). Итак, мы видим, что предположение ff х 2 г ly 2t пУ 1 2 п 1у 2 1