* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОГРАННИКОВ 173 граннике А. Точно так же определяются веса звеньев в много­ гранниках А1 М , . . ., M . Заметим, что одно и то же звено может иметь разный вес в различных примыкающих к этому звену многогранниках: ведь эти примыкающие многогранники могут иметь различные углы при этом звене. Возьмем теперь все звенья многогранника А, найдем их веса в многограннике А и составим сумму всех этих весов. Нетрудно видеть, что эта сумма равна инварианту f(A) многогранника А, Действительно, рассмотрим ребро 1 многогранника Л, и пусть оно состоит, например, из трех звеньев, имеющих длины m m , m (см. рис. 36). Тогда каждому звену m m т соответствует в многограннике А один и тот же двугранный угол а а именно двугранный угол при ребре / . Поэтому сумма весов звеньев 19 2 k Л Vy 2 3 ly 2t 3 1% х m m, ю Р + ^ / ( i ) + / ( i ) = i i + 2 + M*)f( >i)= = / / ( a ) . Точно так же сумма весов всех звеньев, из которых состоит ребро / многогранника А, равна / ^ / ( a ) и т. д. Поэтому сумма весов всех звеньев многогранника А равна инварианту f(A) многогранника А. Совершенно так же, инвариант каждого из многогранников М , ..., M равен сумме весов всех его звеньев (конечно, вес каждого звена вычисляется в рассматриваемом многограннике). Теперь уже нетрудно установить справедливость соотноше­ ния (30). Для вычисления суммы, стоящей в правой части этого соотношения, нужно взять сумму весов всех звеньев по всем многогранникам M M ...,М . Найдем, с каким коэффициентом будет входить в эту сумму некоторое звено т. Обозначим все двугранные углы многогранников M М , M примыкающие к звену /к, через y у/> Ys ( величины содержатся среди чисел (27)). Тогда вес рассматриваемого звена в многограннике с двугранным углом у равен т/(у ); вес его в многограннике с двугранным углом Y/ равен tnf(yj) и т. д. Таким образом, сумма весов звена т по всем тем многогранникам М , М , . . ., M кото­ рые примыкают к этому звену, равна а в н а a / w c t m m a lt t 3 2 3 1 1 2 2 2 k l% 2f к l9 э т и 2 k% h ( ( х 2 k> */(Y/) + * / ( Y / ) + - • • +*/(Y,>. (31) Все звенья можно разбить на три группы. 1) Звенья, которые целиком (кроме, может быть, концов) распо­ ложены в н у т р и многогранника А. Если т есть такое звено и если к а ж д ы й из многогранников М УИ , . . . , М , п р и м ы к а ю ­ щ и х к отрезку /», имеет этот отрезок своим звеном, то двугран­ ные углы примыкающих к звену т многогранников образуют в сумме полный угол (рис. 37, а; на этом рисунке, так же как и на рис. 37, б, 38, 39, а, 39, б, изображено сечение многогранника А и многогранников, примыкающих к отрезку m плоскостью, перпендикулярной к звену т\ само звено т изображено на этих х% 2 А t