* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОГРАННИКОВ 167 Возьмем для примера числа а = 1, а = У§. Так как эти числа несоизмеримы, то между ними никакой зависимости не существует. Поэтому не требуется никакой зависимости и между числами / ( o t i ) и / ( а ) , т. е. для получения аддитивной функции можно выбирать числа / ( 1 ) и /(У 5 ) совершенно произвольно. Если же взятые числа окажутся зависимыми, то значения аддитивной функции также должны быть связаны зависимостями. Пусть, наконец, «!• «2, . . . , a (2) х 2 2 k — все внутренние двугранные углы некоторого многогранника А, выраженные в радианах, а 1 , / , —длины ребер, соответст­ вующих этим двугранным углам (рис. 34). Если выбрана некоторая аддитивная функция г 2 /(<*i). / ( « ! > . . - - / ( * * > для чисел (2), то сумму 'i/(«i> + '2/(02) + • - • + /*/(«») (3) (4) мы обозначим через f(A) и будем назы­ вать ее инвариантом многогранника А. Инвариант f(A) зависит не только от вы­ бора самого многогранника А, но также и от выбора аддитивной функции (3). Теперь мы - можем сформулировать следующую теорему. Т е о р е м а Х а д в и г е р а . Даны два многогранника А и В, имеющих одинаковый объем. Обозначим через a а , >,а все внутренние двугранные углы многогранника А, выраженные в радианной мере, а через Р,, $ , - . - , P — все внутренние дву­ гранные углы многогранника В. К числам <х а , . . . , а , Pi» Рг> - ч Р ? присоединим еще число эт. Если для полученной системы чисел Р и с 3 4 lf 2 р 2 ff 1г 2 р я, можно подобрать а, г а , ..., а, 2 р P lf р , . . . , \Ъ 2 д (5) такую аддитивную функцию (6) (7) неоди­ (8) / ( я ) , /(«!>, /(«»>, . . . , / ( « , ) , / ( P i ) , /(Р.), - . - . / ( Р Л я/яо выполнено соотношение а соответствующие наковы: mo многогранники / ( я ) = 0, инварианты многогранников f(A)^f(B), А и В не равносоставлены. А и В