* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

164 РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ Заметим, что доказательство теоремы Хадвигера — Глюра мо­ жет быть проведено совершенно так же, как и доказательство теоремы Бойяи — Гервина. Мы уже видели выше, что при доказа­ тельстве лемм 2 и 3 можно обойтись только параллельными пере­ носами и центральными симметриями. Напротив, в доказательстве леммы 4 используется поворот фигуры на некоторый угол. Однако, заменяя это доказательство другим, можно установить лемму 4, также пользуясь только параллельными переносами и центральными симметриями. Так же обстоит дело и с остальными леммами, что и дает доказательство теоремы Хадвигера —Глюра. Дета­ ли доказательств читатель может найти в названной выше книге В. Г. Болтянского. 2.3. Равносоставленность многоугольников и группы движений. Дальнейшие относящиеся сюда результаты связаны с понятием группы движений. Заметим прежде всего, что совокупность всех параллельных переносов и центральных симметрий является группой движений; эту группу мы обозначим через S. Действи­ тельно, если каждое из движений dud' является параллельным переносом или центральной симметрией, то их произведение dd', а также обратное движение d~ являются параллельными перено­ сами или центральными симметриями. Совокупность всех движений плоскости также, очевидно, является группой движений. Эту группу мы обозначим через D. Пусть теперь G—некоторая группа движений, а А и А' — два многоугольника. Предположим, что фигуру А нам удалось разбить на такие части M М , , .,M , а фигуру А'—на такие части А4 M *.. Mk, что эти части получаются друг из друга с помощью движений, п р и н а д л е ж а щ и х г р у п п е G (т. е. в группе G имеется движение g , переводящее многоугольник M в М имеется движение g , переводящее Af в М , и т. д.). В этом случае много­ угольники Л и Л ' называются G-равносоставленными. Например, если в качестве группы С рассматривается группа S, то мы полу чаем понятие ^-равносоставленности, рассмотренное выше; если рассматривается группа D, то мы получаем обычное понятие равно­ составленности (D-равносоставленность). Всякие два многоугольника одинаковой площади D-равносоставлены (теорема Бойяи — Гервина) и даже 5-равносоставлеиы (теорема Хадвигера — Глюра). Вообще же понятие G-равносоставленности можно рассматривать для любой группы движений G. Например, имеет место предложение, анало­ гичное лемме 1: если А и С—два многоугольника, каждый из ко­ торых G-равносоставлен с многоугольником В, то А и С также G-равносоставлены. (При доказательстве этой леммы существенным является то, что G есть г р у п п а движений, а не произвольная совокупность движений.) x it г m k и 2f t L Y и 2 2 2