* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ 163 стве леммы 3 (рис. 27) мы разбили параллелограмм ABCD на не­ сколько частей (помеченных цифрами / , 2, 3, . . . ) , из которых оказалось возможным составить параллелограмм ABEF. Из рис. 27 видно, что для составления параллелограмма ABEF достаточно воспользоваться параллельными переносами ) частей. В частности, равносоставленность двух параллелограммов, изображенных на рис. Ь, устанавливается с помощью параллельного переноса. Для установления равносоставленности фигур, изображенных на рис. 9 или 10, уже недостаточно одних параллельных переносов, однако легко показать равносоставленность этих фигур, пользуясь, кроме параллельных переносов, еще центральными симметриями ) . Действительно, заменив (с помощью центральной симметрии отно­ сительно точки О) треугольник BOD треугольником СОЕ (рис. 9), мы получим параллелограмм ADEC, который затем с помощью па­ раллельного переноса можно совместить с параллелограммом KLMN. Аналогично доказывается равносоставленность фигур, изображен­ ных на рис. 10. При доказательстве леммы 2 мы также пользова­ лись центральной симметрией (рис. 25). Возникает естественный вопрос: нельзя ли доказать равносостав­ ленность двух любых равновеликих многоугольников, не пользуясь поворотом составных частей, т. е. применяя только центральные симметрии и параллельные переносы? Как доказали Хадпигер и Глюр, ответ на этот вопрос п о л о ж и т е л е н . Более точно, будем говорить, что два многоугольника S-равносоставл'ены, если их равносоставленность можно установить с помощью одних только параллельных переносов и центральных симметрии. Иначе говоря, два многоугольника «S-равносоставлены, если один из них можно разбить на конечное число частей М , М , М , а другой — на такое же число частей М\, М', М' причем многоуголь1 2 х 2 ъ 1 у х Я 3 ники М и М получаются друг из друга с помощью параллель­ ного переноса или центральной симметрии; то же справедливо для М и М' , для М и М и т. д. Оказывается, что справедлива следующая Т е о р е м а Х а д в и г е р а — Г л ю р а . Любые два многоуголь­ ника, имеющие равные площади, являются S-равносоставленными. Из теоремы Хадвигера —Глюра и вытекает, что равновеликие многоугольники всегда можно разбить на многоугольные части с соответственно параллельными сторонами; достаточно заме­ тить, что если два многоугольника получаются друг из друга с помощью параллельного переноса или центральной симметрии, то их стороны соответственно параллельны. 2 2 в 3 1 ) Определение параллельного переноса см. на стр. 54 кн. IV ЭЭМ. *) Определение центральной симметрии см, на стр. 54 кн. IV ЭЭМ. 6*