* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

РАВНОСОСТАВЛЕННОСТЬ МНОГОУГОЛЬНИКОВ 161 щадь прямоугольника АВВ А была равна площади треугольника / . Тогда треугольник / и прямоугольник АВВ А (помеченный цифрой I) равносоставлены. Действительно, треугольник / равносоставлен с некоторым прямоугольником (лемма 2), который в свою очередь равносоставлен с прямоугольником /, имеющим ту же площадь (лемма 4); поэтому (лемма 1) треугольник / и прямоугольник / равносоставлены. Далее, построим отрезок A B , параллельный АВ, таким образом, что прямоугольник А В В А , помеченный цифрой//, равновелик треуголь­ нику 2. Тогда треугольник 2 и прямоугольник / / равносоставлены. 1 1 1 1 2 Z 1 1 2 2 Рис. 29. Рис. 30. Затем мы пистроим прямоугольник ///, равносоставленный с тре­ угольником 3, и т. д. Построенные прямоугольники /, //, ///, . . . составляют вместе один прямоугольник (заштрихованный на рис.30), который но построению равносоставлен с исходным многоугольником. Теперь уже нетрудно доказать упомянутую на стр. 148 теорему. Т е о р е м а Б о й я и — Г е р в и и а. Два многоугольника, имею­ щих равные площади, равносоставлены. Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно лемме 5, каждый из многоугольникоз равносоставлен с некоторым прямоугольником. Полученные два прямоугольника имеют одинаковую площадь и, следовательно, равносоставлены (лемма 4). Таким образом (лемма 1), два исходных многоугольника равносоставлены. В качестве простого следствия теоремы Бойяи — Гервина мы до­ кажем следующее предложение: Т е о р е м а : Два многоугольника, имеющих равные площади, равнодополняемы. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть А и В —два многоугольника, име­ ющих одинаковую площадь. Возьмем два одинаковых квадрата на­ столько больших размеров, чтобы внутри них можно было распо­ ложить фигуры А и В. Вырезав из одного квадрата фигуру А, а из другого — фигуру В, имеющую такую же площадь, мы получим 6 Энциклопедия, кн. 5