* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ВВЕДЕНИЕ 143 x ( а ' ) Если фигура Х является частью фигуры X, mos(X )^s{X) ( м о н о т о н н о с т ь площади). Положение ( а ' ) вытекает из (а) и ф). Действительно, обозна­ чив через Х часть фигуры X, не заполненную фигурой Х мы получим, в силу (Р), s(X) = s[X ) + s{X ). Так как, в силу (а), s(X )^0 то отсюда следует, что s (X) ^* s {Х ). Обратно, из (а') и (Р) вытекает, очевидно, положение (а). Вместо положения (б) часто используют следующее эквивален­ тное ему положение: (б') Площадь любого квадрата, сторона которого является единицей длины, равна единице. Положение (б) требует, чтобы хотя бы один квадрат, сторона которого имеет длину 1, имел площадь 1. Положение (б) требует, чтобы л ю б о й такой квадрат имел площадь 1. Так как все квадраты, имеющие сторону длины 1, равны между собой, то, в силу (у), поло­ жения (б) и (б') эквивалентны между собой. Мы выбрали в качестве основного положения (б), так как оно требует «меньше». Разумеется, положения (а) — (б) могут быть использованы только после того, как определено, что такое «фигура» и что значит «разбить» фигуру на две части. Мы не будем в этой статье касаться о б щ е г о учения о площадях, имеющего дело с произ­ вольными «квадрируемыми фигурами» ), а ограничимся рассмотрением лишь «многоугольных фигур», которые являются наиболее простыми с элементарно-геометрической точки зрения. Многоугольной фигурой (или просто «многоугольником») называется часть плоскости, ограниченная конечным числом отрезков. Из этого определения следует, что к многоугольникам при­ числяются не только многоугольники «в обычном смысле слова», ограниченные одной замкнутой ли­ нией (рис." 1), но также и более сложные фигуры, ограниченные несколькими замкнутыми ломаными Рис. 1. линиями (рис. 2, а, б), в том числе и «несвязные» фигуры, состоящие из нескольких отдельных кусков (рис. 2, в). Когда мы будем говорить о разбиении многоугольника на части, мы всегда будем иметь в виду разбиение его прямолинейными отрез­ ками на конечное число многоугольников (рис. 3). Отметим, что любой многоугольник может быть разбит на треугольники (рис. 2, а). х 2 и 1 2 2 t г 1 1.2. Площадь прямоугольника (метод исчерпывания). Как известно *), свойства (а) — (б) позволяют на классе всех много­ угольников однозначно определить понятие площади. Напомним *) См. статью «Площадь и объем», стр. 44—54 этой книги ЭЭМ. ) См. статью «Площадь и объем», стр. 21—29. f