* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

124 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ предложение г)): 1 н п / = / ( Л ) ; наконец, величина h я n имеет, оче¬ в _г видно, предел г; Шпй = г. Таким образом, переходя я равен¬ стве (12) к пределу при п—юо, 2 мы получаем s (К) — " 5 * ' ( Л ) . Так как s(fQ = n r (см, стр. 49), то мы находим отсюда / ( Л ) = 2лг, где я — т о ж е с а м о е число, которое участвует в формуле для площади круга. е) Б л и з о с т ь п е р в о г о п о р я д к а и р о л ь в п и с а н н ы х л о м а н ы х. Из доказательства теоремы существования (см. стр. 117— 118) и из приведенного выше свойства г) длины выясняет­ ся особая роль вписанных ломаных. Почему же именно вписанные ломаные так удоб­ ны для определения дли­ ны? Мы выясним этот вопрос для случая г л а д к и х дуг. Рис. 25. Первое объяснение, ко­ торое приходит в голову, заключается в том, что вписанная в гладкую дугу Л ломаная очень «близка» к дуге Л, если звенья ломаной имеют малую длину. Однако пример, приведенный на стр. 99, убеждает наев том, что близкая к дуге Л ломаная может иметь длину, весьма сильно отличаю­ щуюся от длины линии Л . Правильное объяснение «хороших» свойств вписанных ломаных заключается в том, что не только сама вписанная ломаная близка к дуге Л , но и направления звеньев вписанной ломаной близки к направлению линии Л в соседних точках (рис. 25). В примере на стр. 99 это не было выполнено: ступенчатые ломаные хотя и располагались все ближе и ближе к отрезку АС, но направления звеньев ступенчатых ломаных не были все более близкими к направлению отрезка АС (звенья сту­ пенчатой ломаной составляли с отрезком АС угол 45°). Именно этим и объясняется тот факт, что предел длин ступенчатых лома­ ных не равен длине отрезка АС. Говорят, что ломаная L находится в ъ-близости нулевого по­ рядка от простой дуги Л , если i c O ( A , е) и концы ломаной L отстоят от концов дуги Л менее чем на е. Ломаная L находится от гладкой дуги Л в г-близости первого порядка, если она нахо­ дится от Л в е-близости нулевого порядка, и, кроме того, для любых двух точек х £ L , у£А, расстояние между которыми меньше е, звено линии L , проходящее через точку х, и касатель­ ная к линии Л , проведенная через точку у, составляют между собой угол, меньший е (рис. 26). Наконец, будем говорить, что последовательность ломаных L , L , сильно сходится к гладx 2