* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ДЛИНА НА КЛАССЕ СПРЯМЛЯЕМЫХ ЛИНИЙ 125 кой простой дуге Л , если для любого е > 0 существует такое натуральное число q , что при n>q ломаная L находится в е-близости первого порядка от дуги Л . Имеют место следующие две теоремы, в значительной степени проясняющие роль вписанных ломаных в определении длины: 1. Если последовательность ломаных L , L•2» сильно сходится к гладкой простой дуге Л, то lim/(£„) = / (Л). % t n x 2. Пусть 1 \ , Г , . . . , Г ... —такая последовательность ломаных, вписанных в гладкую простую дугу Л, что длина наибольшего из звеньев ло­ маной Г стремится к нулю при л —• оо. Тогда по­ следовательность ломаных 2 и> п Гх, Г 2» сильно сходится к дуге Л. Доказательства этих те­ Рис 26. орем сравнительно несложны, но мы их приводить не будем. ж) В ы ч и с л е н и е длины с помощью интеграла. Пусть А—элементарная гладкая простая дуга (см. стр. 37), являющаяся графиком функции у = f(x), a ^ x ^ b (рис. 27). Тогда ь l{A) = lVl а + {y') dx. 2 (13) т. В самом деле, пусть r = A A ...A — некоторая вписанная ло­ маная дуга Л (она, очевидно, не имеет самопересечений). Обозначим 0 t k jfy_ b х r Рис. 27. абсциссы точек А , A . . . , A через а = лг , лг , . . . , x_ x = b (рис. 27). Угол, образованный отрезком А;_ А с осью абсцисс, обозначим через ф,. (рис. 28). Между точками A _ и A 0 lf k 0 1 k u k Х £ t x t