* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

92 ДЛИНА КРИВОЙ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ совпадает с построенной выше функцией /. Обозначим через Л еди­ ничный отрезок; в силу свойства (б), мы имеем А (Д) = / ( Д ) = 1. , Далее, разделим отрезок А на 10" равных частей A Л п. В силу свойства (у), мы имеем: К (Д ) = К (Д ) = . . . = & , (Аю ), / ( Д ) = / (Д ) = . . . = / (Д п), а в силу свойства ф ) находим: l f 10 п х 2 г 2 10 Х(Д ) + Я ( Д ) + . , . + Я ( Д » ) = Я ( Д ) = 1 , / (Д ) + / (Д ) + . . . + / (Д >) = / (А) = 1. Следовательно, / ( Д ) = А (Д ) = 10~". Пусть теперь АВ—произвольный отрезок, расположенный на прямой р. Рассмотрим, как и в доказательстве существования, разбиение прямой р на отрезки ранга п и определим числа а и а . Обозначая через MN отрезок, образованный всеми а отрез­ ками ранга п, целиком содержащимися в ДБ, мы найдем, согласно свойствам (у) И ф ) , К (MN) = / (MN) = а -10"" = /„. Точно так же для отрезка M'N', образованного всеми а отрезками ранга п, имеющими с АВ общие точки, мы найдем, согласно свойствам (Y) (Р). M M W ' ) = / ( M W ' ) = a - 1 0 - " = / . Заметим теперь, что 1 2 1 0 х 2 1в х А п п п п п и n ft А С В В ЦАВ)-ЦАС) • t(CD) * l(DB)>l(CD) Рис. 3. из свойств (р) и (а) вытекает м о н о т о н н о с т ь функций / и Я, т. е. вытекает, что если отрезок CD является частью отрезка АВ, то l(CD)^l(AB), l(CD)^K(AB) (рис. 3). Так как отрезок MN содержится в отрезке АВ (может быть, совпадает с ним), то / (АВ) > / (MN) = 1 , I (АВ) ^ X (MN) = /„. Точно так же l(AB)^l(M'N') = l , k(AB)^l(M'N') = l (ибо отрезок АВ со­ держится в отрезке M'N'). Таким образом, / ^ / (АВ) ^ /„ , / < А, (АВ) < l' , и потому | / (АВ) — X (АВ) | < / — / „ = 2 . 1 0 " " (см. (1)). Ввиду произвольности числа п отсюда вытекает равен­ ство 1(АВ) = К (АВ). Итак, для отрезка АВ, расположенного на прямой р, функции X и / принимают одно и то же значение. Из этого в силу свойства (Y) вытекает, что функции К и / совпадают. З а м е ч а н и е 1. Рассмотрим, в частности, расположенный на прямой р отрезок ОВ, левый конец которого совпадает с точкой О. Обозначим через д число отрезков ранга 0 (т. е. равных еди­ ничному отрезку), целиком содержащихся в отрезке ОВ, и пусть С—правый конец последнего из этих отрезков. Обозначим, далее, через а число отрезков ранга 1, содержащихся в «первом п n n л п n П 0 г