* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

62 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЁМ кого числа квадрируемых фигур, попарно не имеющих общих внутренних точек, равна сумме площадей этих фигур, (у) Равные квадрируемые фигуры имеют равные площади. (6) Пло­ щадь единичного квадрата равна 1. Предложение (а) очевидно. Предложение (б) было доказано в п. 6-2. Докажем предложение (Р). Пусть М , М —квадри­ руемые множества, попарно не имеющие общих внутренних точек. Никакой квадрат ранга п не может входить сразу в два множества Mi и Mj (иначе центр квадрата был бы общей внутренней точкой этих множеств), и всякий квадрат ранга п, входящий в одно из множеств М , М , входит в их сумму. Следовательно, г р г р ««<А*1> + • •« + а* (М ) < а (М + . . . + М ). р п л р (9) Если квадрат ранга п задет множеством М -\-... -\-М , то он задет по крайней мере одним из множеств М , М . Следовательно, г р х р a (М )+...+ n х 2 а (М )^а' п р п (М + .. г ш +М ). р (10) После умножения на 1 0 " " неравенства (9) и (10) дают: 1=1 1=1 t=l 1=1 При я —* оо крайние члены последнего неравенства имеют предел, р а в н ы й 8 { М ) + . -. -\-s(M ), а средние члены—предел, р а в н ы й * { М + . . . +М ). Следовательно, 8{М +... +M )=s{M )+ ... +s(M ). Наиболее глубоким является предложение (у). Его полное дока­ зательство мы отложим до п. 6.7. Здесь мы установим лишь сле­ дующий частный случай этого предложения: (у') Квадрируемые фигуры, получающиеся друг из друга па­ раллельным переносом, имеют равные площади. Пусть М, N— эти фигуры и \, TJ —координаты вектора пере­ носа, переводящего фигуру М в N. Возьмем произвольное нату­ ральное число п, заменим | и г) конечными десятичными дробями | ' и г)', содержащими п знаков после запятой и отличающимися от \ и т) меньше чем на 10~ , и разложим наш перенос на два переноса: перенос I, производимый вектором с координатами г)', и перенос II, производимый вектором с координатами т]—т]'. Перенос I переводит фигуру М в некоторую квадрируе­ мую фигуру N', перенос II переводит фигуру N' в N. Так как | £ — £ ' | < Ю - " , | - г | — т ) ' | < 1 0 " , то при переносе II всякий квад­ рат ранга я переходит в квадрат, имеющий со своим исходным положением общие точки. Следовательно, всякий квадрат ранга п, содержащийся целиком в множестве N, задет множеством N'. Так как число квадратов ранга л, входящих в N, но не вхог p г р г p 1 p п п