* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ДРУГОЕ ПОСТРОЕНИЕ ТЕОРИИ ПЛОЩАДЕЙ 63 дящих в N' равно сс (ЛГ)— a (NN') а число квадратов, задетых множеством N', но не входящих в N', равно сс (ЛГ) — a {N'), то отсюда следует, что «„ ( «„ < а' (ЛГ) - а„ (ЛГ). (11) f п n t я n я Подобным же образом а „ (ЛГ) - а„ (Л/ЛГ) < а (N) -a (N). п n (12) Абсолютная величина разности левых частей неравенств (11) и (12) не превосходит суммы левых, а потому и суммы правых ча­ стей этих неравенств. Следовательно, | а „ (N) - а (ЛГ) | < [а' (ЛГ) - а (N')] + [а {N) - a {N)]. п п п п n (13) Так как числа т|' имеют вид £ ' = Ы 0 ~ " , т ) ' = у - 1 0 ~ " , где /, у—целые числа, то сдвиг I переводит прямые вида (1) друг в друга, не меняя образованной ими сети. Следовательно, а ( Л Р ) = = а (М), a (N') = a {M)- Вставляя эти значения в неравенство (13) и умножая обе его части на 10~ , получим: | $ „ ( Л Г ) — s ( A f ) | ^ [s {M) — s {М)] + [s„ {N)—s (ЛГ)]. При п —>- оо левая часть послед­ него неравенства имеет предел | s ( N ) — s ( M ) \ , правая часть — предел 0. Следовательно, \s{N)—s(M)\ = 0 и s(N) = s[M). Площадь обладает свойством монотонности: если множества М и N квадрируемы и NdM, то s{N)*^s(M). Это сразу следует из очевидного неравенства а (N) ^ а (М) и определения площади. Важно, однако, подчеркнуть, что моно­ тонность площади является следствием свойств (а) и ф ) . Дейст­ вительно, положим N' = М—N. Это—квадрируемая фигура, не имеющая общих точек с ЛГ, и M = N+N'. Следовательно, s(M) (N) + s (N') ^s(N). 6.6. Теорема единственности. Площадь —единственная функ­ ция, определенная на классе квадрируемых фигур и обладаю­ щая свойствами (а), (Р), (у), (б). Мы докажем более сильное утверждение: Площадь — единственная функция, определенная на классе квадрируемых фигур и обладающая свойствами (а), (Р), (у'), (б). Пусть а —другая такая функция. Единичный квадрат Е распада­ ется на 10 квадратов ранга п, которые квадрируемы (см. п. 6.2), попарно не имеют общих внутренних точек и получаются друг из друга параллельными сдвигами. Обозначая эти квадраты через Е , . . £ ю * , мы можем написать на основании свойств (Р), ( у ' ) , (б): 10 " 2 о ( £ , ) = о (Е), о(Е ) = а(Е )=...=о{Е *п),о(Е) = \. 1=1 в п n n 2П n n n n п п 2п п х е 1 2 10 Из этих соотношений следует: \0*"о (t ) = 1, a (E ) = 10~ . L t art