* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПЛОЩАДЬ НА КЛАССЕ КВАДРИРУЕМЫХ ФИГУР 55 сом к в а д р и р у е м ы х замкнутых областей. Предварительно сдела­ ем одно замечание. Рассмотрим соответствие, относящее каждому квадрируемому множеству М замкнутую область [М\ = (М ) . Как показывают формулы (25) и (26), обозначение [М] согласуется с ранее введенными обозначениями [FF'] и [F—F']. Оказывается, что [М] лишь на нуль-множество отличается от М (т. е. раз­ ности М—[М] и [Щ—М являются нуль-множествами) и что [Щ — единственная замкнутая область, обладающая этим свойством. Д л я доказательства заметим, что оба множества М и [М] содер­ жат М и содержатся в М . Следовательно, обе разности М—[М\ и [Щ — М содержатся в М —М = М и потому являются нуль­ множествами. Если бы существовали две замкнутые области F и F\ отличающиеся от М лишь нуль-множествами, то они отличались бы лишь нуль-множествами и друг от друга, т. е. разности F—F' и F' — F были бы нуль-множествами. Внутренние части этих раз­ ностей были бы тогда пусты, а с ними, в силу формулы (26), были бы пусты и сами разности. Так как [М\ отличается от М только нуль-множеством, то [М\ — квадрируемая фигура. В частности, приведенные пересечения и при­ веденные разности квадрируемых замкнутых областей являются квадрируемыми замкнутыми областями. Операции приведенного пересечения и приведенного вычитания квадрируемых замкнутых областей обладают всеми алгебраиче­ скими свойствами обычного пересечения и обычного вычитания множеств. Например: Ъ 3 в ъ ъ Ъ Г [[/Уч] / У = [Л [/УЧ]. №i ± F ) s) = [/УУ ± [ / V U F t = [Л - [/УЧ1. [/УЧ+Л» = [ ( ^ i + / У ( Z . + z 7 7 .)]; см. также формулу (9) в п. 2.5. Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно доказать, что при отобра­ жении М—*\М\ сумме, пересечению и разности двух квадрируе­ мых множеств отвечают сумма, приведенное пересечение и приве­ денная разность их образов, т. е. что для любых двух квадри­ руемых множеств М и N [M+N] = [M] + [N], [MN] = [[M][N]], [M-N] = [[M]-[N]]. Так как [М] и [N] лишь нуль-множествами отличаются от М и N, то правые части этих формул лишь нуль-множествами отли­ чаются от M-\-N, MN и M—N. А так как эти правые части яв­ ляются замкнутыми областями, то они совпадают с [ A f + / V ] , [MN] и [M—N\. С т р о г а я м о н о т о н н о с т ь п л о щ а д и . На классе квадри­ руемых замкнутых областей площадь строго монотонна. В