* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

54 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ формула (23) верна для криволинейных трапеций рассматриваемого вида. В общем случае фигуру F можно разложить горизонталями и вертикалями на конечное число таких трапеций. Некоторые из этих трапеций будут повернуты на 90, 180 или 270° и сдвинуты. В силу предыдущего к каждой из них применима формула (23), а потому она применима и к фигуре F. 5,10. Площадь иа классе квадрируемых замкнутых областей. В этом пункте будет показано, что на классе квадрируемых замк­ нутых областей площадь сохраняет свойство строгой монотонности. Согласно пп. 2.4 и 4.1, класс квадрируемых замкнутых областей содержит все многоугольные фигуры. Излагаемая ниже теория является естественным продолжением теории площадей многоуголь­ ных фигур. Так как сумма конечного числа замкнутых областей есть замк­ нутая область (п. 2.2) и сумма конечного числа квадрируемых множеств есть квадрируемое множество (п. 4.6), то сумма конеч­ ного числа квадрируемых замкнутых областей есть квадрируемая замкнутая область. Однако с пересечением и вычитанием дело обстоит сложнее: уже пересечение и разность двух треугольников могут не быть замкнутыми областями. В и. 2.5 мы определили приведен­ ное пересечение и приведенную разность многоугольных фигур, всегда являющиеся многоугольными фигурами. Эти определения мы перенесем теперь на произвольные замкнутые области, т. е. поло­ жим для любых двух замкнутых областей F и F'\ [FF') = ((FF') ) , B a [F-F') = (F-F') . 3 (25) [F—F'] (26) Очевидно, что [FF'] — замкнутая область. Покажем, что и есть замкнутая область, а именно, покажем, что [F-F'] = ((FF\) . 3 b A Пусть A £F—F'.TaKKaK A £FnF=(F ) (m. п. 2.2), то всякий круг с центром в точке А пересекается с множеством F . Так как точка А не принадлежит замкнутому множеству F' то существует круг с центром в точке А, не пересекающийся с F'. Следовательно, всякий круг с центром в точке А пересекается с F —F\ т. е. /\ £ (/? F') . Таким образом, F—F'