* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

52 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ и гак как, очевидно, P c F c Q , то (20) «(/>)< « ( Л < * ( 0 ) - Теперь мы должны обратиться к определению интеграла, стоящего в правой части формулы (18). Первая из сумм (19) называется нижней, вторая—верхней интегральной суммой функции <р отно­ сительно разбиения А = Д + . . . + A . Одна из теорем анализа, так называемая «теорема существования интеграла», утверж­ дает, что существует единственное число, служащее одновременно верхней гранью нижних сумм и нижней гранью верхних сумм. Это число и есть, по определению, интеграл (18). Согласно неравен­ ству (20), таким числом является площадь s(F) что и доказывает формулу (18). Добавим, что в наших рассуждениях содержится и доказатель­ ство теоремы существования интеграла. Действительно, согласно лемме из п. 4.7, для всякого положительного е существует такое х rt f л п т e £ разбиение Д = Д + ... + Д , х п и потому s(F)—единственное и верхними суммами. Формула (18) может считаться основной формулой теории пло­ щадей. Конечно, сама по себе она не является глубоким матема­ тическим предложением: понятия площади и интеграла настолько близки друг другу, что она почти оче­ видна. Однако в соединении с мощными методами вычисления интегралов, кото­ рыми располагает анализ, это формула оказывается чрезвычайно эффективной. П л о щ а д ь к л а с с и ч е с к о й фи­ г у р ы . Можно доказать, что всякая клас­ сическая фигура (п. 4.8) может быть разбита горизонталями и вертикалями на конечное число криволинейных трапеций Рис. 18. Разбиение класси- (некоторые из этих трапеций будут поческой фигуры на кривовернуты относительно положенной в оснолинейные трапеции. ву системы координат на 90, 180 или 270° и сдвинуты—см. рис. 18). Если такое разбиение произведено, то площадь фигуры может быть вычислена как сумма площадей этих трапеций, а к последним применима фор­ мула (18). В этом смысле формула (18) является универсальной формулой теории площадей. Если рассматриваемая фигура достаточно проста, то этот путь быстро ведет к цели, но в более сложных случаях он может ока­ заться малоэффективным. Существуют формулы, позволяющие прямо 2 М£{А )— 2 '(Af) < t i=l i=X * число, заключенное между нижними что