* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

50 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ Так как определитель этого преобразования равен ab, то площадь эллипса (17) равна nab. 5.9*. Вычисление площади. До сих пор мы занимались главным образом логическими вопросами теории площадей. Проблеме вычис­ ления площади уделялось мало внимания—она была рассмотрена только для многоугольных фигур. Теперь мы займемся криволиней­ ными фигурами. Проблема вычисления площади намного старше логических проблем теории площадей. Если понятием площади заинтересова­ лись в прошлом столетии, то вычисление площадей благодаря своему практическому значению находилось в центре внимания математиков уже десятки столетий назад. И задолго до того, как логические проблемы теории площадей были поняты и сформули­ рованы, математикам уже были известны эффективные методы вычисления площадей криволинейных фигур. Эти методы были созданы после многовековых усилий и при­ надлежат к числу самых выдающихся достижений человеческой мысли. Они оказались очень общими, т. е. пригодными для вычис­ ления не только площадей, но и многих других геометрических и физических величин. Со временем они обрели самостоятельность и стали ядром новой науки. Эта наука называется математиче­ ским анализом и представляет собой в настоящее время универ­ сальный инструмент точного естествознания. Изложение математического анализа не входит в задачи настоя­ щей статьи. Мы ограничимся тем, что дадим простейшие формулы, позволяющие вычислять площади криволинейных фигур средствами анализа. Эти формулы выражают площади через интегралы, и их применение требует умения вычислять интегралы. Для сравнения заметим, что и площадь прямоугольника мы вычислили в п. 3.3 лишь в том смысле, что доказали формулу s(P) = ab. Применение этой формулы требует умения перемножать числа и является делом арифметики, которая, как и анализ, не излагается в настоящей статье. Добавим, что задача вычисления площади прямоугольника в не меньшей степени способствовала развитию арифметики, чем задача вычисления площади криволи­ нейной фигуры—развитию анализа. Сначала мы рассмотрим основной случай, когда наша фигура является «криволинейной трапецией», а затем, кратко, случай про­ извольной классической фигуры. П л о щ а д ь к р и в о л и н е й н о й т р а п е ц и и . Пусть ф—неко­ торая функция, непрерывная и неотрицательная на отрезке А = [а,Ь]. Снабдим плоскость системой координат и обозначим через F множество точек, координаты х, у которых удовлетворяют нера­ венствам а < х Ь 0 *^у <р (х) (рис. 16). Множество F называется криволинейной трапецией, определяемой функцией <р. %