* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

КЛАСС КВАДРИРУЕМЫХ ФИГУР 41 граница которой состоит из конечного числа простых замкнутых кривых; при этом, чтобы исключить патологические случаи, мы будем считать эти кривые кусочно гладкими. Классические фигуры квадрируемы. Действительно, согласно пп. 4.7 и 4.3, граница классической фигуры есть нуль-множество, так что применим критерий квадрируемости из п. 4.5. Следует подчеркнуть, что в этой теореме кусочная гладкость гранич­ ных кривых существенна. В п. 4.10 будет построена фигура, ограниченная простой замкнутой кривой, но не квадрируемая. 4.9. Круг. Из уважения к традиции мы приведем здесь клас­ сическое элементарное доказательство квадрируемости круга. Пусть Я„ — правильный 2 -угольник (л 5*2), вписанный в круг радиуса г, и Q — правильный 2 -угольник, описанный около этого круга. Пусть а — сторона и с —апофема многоугольника Р и Ь — сторона многоугольника Q . Согласно п. 3.5, п п n п п п п n 5 (/>„) = \ 2 а с„, п п s «?„) = ± Fbj. (5) Из соображений подобия следует, что Ь *п п . . (6) Если Р —квадрат (т. е. п = 2), то это отношение равно "|/2; при возрастании п оно убывает, так как fl <2a b >2b . Следовательно, B n+11 n n+L -^<2. Далее 2 ' Ь ^Ь п п 2 2 (7) следует (индуктивно), n из неравенства 26 n я + 1 <6„ nJ что = 2г. Наконец, a — , справедливо неравенство s (Q )—s (Р ) - < е . Этим доказано, что круг—квадрируемая фигура. 4.10*. Примерынеквадрируемыхмножеств. П р и м е р 1. О г р а ­ н и ч е н н о е н е к в а д р и р у е м о е м н о ж е с т в о . Направим оси