* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

40 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ обращается в нуль в точке t , то существует окрестность точки t , в которой одна из этих производных нигде не обращается в нуль. При достаточно большом п отрезок А целиком лежит в этой окрестности, и поэтому при достаточно большом п одна из произ­ водных Xf yf не обращается в нуль на Д . Следовательно, при достаточно большом п дуга Г является элементарной кривой, д это очевидным образом противоречит тому, что ее нельзя разбить на конечное число элементарных кривых. Кусочно гладкая простая дуга есть нуль-множество. Действительно, кусочно гладкую простую дугу можно разбить на конечное число элементарных кривых, а элементарная кривая есть нуль-множество и сумма конечного числа нуль-множеств есть нуль­ множество. П р о с т ы е з а м к н у т ы е к р и в ы е . Множество точек плоско­ сти называется простой замкнутой кривой, если существует не­ прерывное отображение отрезка на это множество, переводящее концы отрезка в одну точку, но в остальном взаимно однозначное. Простая замкнутая кривая называется кусочно гладкой, если ее можно разбить на конечное число гладких простых дуг. Например, окружность и контур квадрата являются кусочно гладкими простыми замкнутыми кривыми. Кусочно гладкая простая замкнутая кривая есть нуль­ множество. Действительно, из предыдущего следует, что кусочно гладкую простую замкнутую кривую можно разбить на конечное число элементарных кривых. 0 0 и % п п 4.8*. Квадрируемость классических фигур. Цель этого пункта—дока­ зать, что «классические» фигуры, т. е. фигуры, с которыми мы обычно встречаемся в геометрии и классическом анализе, квадрируемы. Прежде всего мы должны точнее определить интересующий нас класс фигур. Всякий скажет, что фигура в классическом смысле есть часть пло­ скости, ограниченная линчей или несколькими линиями. Попытаемся при­ дать этим словам точный смысл. Ясно, что под «линией» здесь следует понимать простую замкнутую кривую. Пусть Г—такая кривая; что такое «часть плоскости, ограниченная кривой Г»? Конечно, это не просто множество с границей Г, потому что таких множеств существует сколько угодно. Если, например, Г—окружность, то такими множествами являются замкнутый круг, открытый круг, часть плоскости, внешняя по отношению к кругу, сама окружность Г и многие другие множества Можно, однако, доказать, что, какова бы ни была простая замкнутая кривая Г, на плоскости существует единственная огра­ ниченная замкнутая область с границей Г. Эта замкнутая область и есть часть плоскости, ограниченная кривой Г. Ее называют также фигурой, ограниченной кривой Г. Мы не будем доказывать эту теорему, потому что ее доказательство трудно и длинно (оно очень не просто даже в случае, когда Г—ломаная) и потому что мы можем без нее обойтись. Действительно, мы можем прямо определить классическую фигуру как ограниченную замкнутую область.