* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
КЛАСС КВАДРИРУЕМЫХ ФИГУР
39
Всякую кусочно гладкую простую дугу можно разбить на конечное число элементарных кривых. Доказательство достаточно провести для г л а д к и х простых дуг (рис. 13). Пусть Г—гладкая простая дуга, Д—отрезок и / — т а к о е взаимно однозначное отображение отрезка Д на Г, что у производные х'рУ\ непрерыв ны и не обращаются одновре менно в нуль. Предположим сначала, что одна из производных х'^ y' нигде не обращается в нуль на отрезке Д. Если это х'р то, как известно из анализа, функ ция х^ взаимно однозначно Рис. 12. отображает отрезок Д на не который отрезок Д ' и обратная функция непрерывна. Обозна чим эту обратную функцию через ф и положим: g(t)—f((p(t)) t£A'. Ясно, что g есть отображение отрезка Д ' на Г, определяемое функция ми x (t) = t y (t) = y(t) ( * € Д ' ) . где ф ( 0 ^ / ( ф ( 0 ) - Следовательно, если x'j не обращается в нуль на отрезке Д, то дуга Г является графиком функции ф и, значит, элементарной кривой. Подоб ным же образом, Г есть элементарная кривая и в случае, когда у^ не обра щается в нуль на Д; доказательство — такое же, только нужно поменять ролями оси х и у. Рис. 13. Разбиение гладкой Переходя к общему случаю, предпо простой дуги на элементар ложим, что дугу Г нельзя разбить на ные кривые. конечное число элементарных кривых, и разделим отрезок Д пополам. Тогда Г разобьется на две простые дуги, из которых по крайней мере одну нельзя разбить на конечное число элементарных кривых. Половину отрезка Д, которому отвечает такая дуга, мы опять-таки разделим пополам, и т. д. В результате мы получим последовательность отрезков Д, A Д , каждый из которых, начиная со второго, является половиной предыдущего, и соответствующую последова тельность Г, r Г, частей дуги Г, не допускающих р а з биения на конечное число элементарных кривых. Пусть t — точка, принадлежащая всем отрезкам Д, Д Д , Так как произ водные лГр y'f непрерывны и по крайней мере одна из них не
t f 9 g 9 g < = l v 2 l f 2 Q 1э 2
