* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

32 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ h — соответствующая высота, и потому х 2 2 х г У2-У1 (27) Заметим, что з н а к определителя (26) определяется порядком, в котором записаны вершины треугольника Р. Если этот порядок таков, что треугольник обходится против часовой стрелки, то опре­ делитель положителен; если этот поря­ док таков, что треугольник обходится по часовой стрелке, то определитель отрицателен. Действительно, в первом случае (при нашем специальном распо­ ложении координатных осей) у >у и в формуле (27) стоит знак + ; во вто­ ром случае у <.Ух и в формуле (27) стоит знак — . Рис. 9. Д о к а з а т е л ь с т в о ф о р м у л ы (23). В силу аддитивности площади, до­ статочно рассмотреть случай, когда Р есть треугольник. Пусть (24) —вершины треугольника Р и (25) — вершины его образа Я ' . Согласно лемме 2, в г 3 s(P) = абс. вел. I Хл — Х-ш х$ х\—Х Х —х\ г х х х У2-У1 Уз—У1 у'г—у\ Уэ — y'i $(Я') = абс. вел. i и равенство (23) является следствием леммы 1. Частные случаи. 1. Пусть /—преобразование подобия с коэф­ Рис. 10. фициентом Я (п. 3.8). Если выбрать в рассматриваемых плоскостях оси x у и х\ у* так, чтобы ось х переходила в ось л:', а ось у — в ось у\ то / представится как аффинное преобразование x' = Kx у'= \у с определителем Д = Х . Таким образом, формула (20) есть частный случай формулы (23). 2. Пусть /—проектирование одной плоскости на другую, обра­ зующую с первой острый угол а . Если выбрать в этих плоскостях системы координат x у и х\ у' так, чтобы оси х и х' совпали, а оси у и у' составили угол а (рис. 10), то / представится как аффинное преобразование х = дг, у* = у cos ос с определителем A = coscc. Следовательно, формула (21) есть частный случай фор­ мулы (23). f f 2 t 9