* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПЛОЩАДЬ НА КЛАССЕ МНОГОУГОЛЬНЫХ ФИГУР 29 — какое-нибудь разбиение ее на треугольники. Положим s ( Я ) = = (7\)-{- . . . + (Т ). Согласно лемме 3, это число не зависит от выбора разбиения (18). Следовательно, 5 есть функция, опреде­ ленная на классе многоугольных фигур. Очевидно, что она обла­ дает свойствами (а) — (6). 3.8. Поведение площади при преобразовании подобия. Как известно, преобразованием подобия с центром О и коэффициентом А > 0 называется такое преобразование плоскости, которое пере­ водит точку О в точку О, а всякую другую точку Л — в точку Л' луча ОЛ, для которой р (О, Л') = Ар (О, А). Более общим образом, преобразованием подобия с коэффициентом Л > 0 называется всякое отображение / одной плоскости на другую, при котором расстояние любых двух точек Л, В первой плоскости и расстояние их образов Л ' = / ( Л ) , В'=/(В) во второй плоскости связаны соотношением п р ( Л ' , В') = * р ( Л , В). 1 (19) Такое отображение взаимно однозначно, и обратное отображение есть преобразование подобия с коэффициентом Л " *). Преобразование подобия переводит треугольник в треугольник и многоугольную фигуру в многоугольную фигуру. Равенство (19) показывает, что отображение / переводит круг с центром А в круг с центром / ( Л ) . Следовательно, преобразование подобия пере­ водит внутренние точки во внутренние точки и множества без общих внутренних точек в множества без общих внутренних точек. Если Р — образ многоугольной фигуры Р при преобразовании подобия с коэффициентом А, то s(P') = A*s(P). (20) г Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу теоремы единственности, доста­ точно доказать, что функция s определенная на классе много­ угольных фигур формулой s'(P) = k~ s (P') удовлетворяет усло­ виям (а) —(6). То, что она удовлетворяет условиям (ос), (Р), (у), очевидно. Займемся условием (6). Ясно, что образ Е' единичного квадрата Е есть квадрат со стороной Л. Следовательно, s ( £ ' ) = A и s'(E') = l- s(E') = \. 3.9. Поведение площади при ортогональном проектировании. Если Р' — проекция многоугольной фигуры Р на плоскость, обра­ зующую с ее плоскостью острый угол сс, то * ( / * ) = $(/>) cos а. (21) r t 2 t 2 2 Д о к а з а т е л ь с т в о . Если с с = 0 , то формула (21) очевидна. Пусть а > 0 . Предположим сначала, что Р—треугольник со стороной, парал­ лельной линии пересечения наших плоскостей. Тогда сторона г ) См. стр. 55 и 60—61 кн. IV ЭЭМ. (Прим. ред.)