* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

28 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ Пусть А, В, С—вершины треугольника S Сумму, стоящую справа в формуле (14), мы разобьем на четыре частичные суммы. v Член ^^i/i/Pij м ы огнесем к первой сумме, если отрезок Ьц лежит на отрезке ВС, ко второй, если он лежит на отрезке СА, к третьей, если он лежит на отрезке АВ, и к четвертой, если Ьц—отрезок второго типа (см. п. 2.4.). Для первых трех частичных сумм мы будем употреблять знаки 2 в > 2 с ' 2 д " ^ первой частичной суммы множители рц и Вц имеют одинаковые значения р и е, а именно, р есть длина перпендикуляра, опущенного из точки О на прямую ВС, а е есть + 1 , если точка О лежит по ту же сторону от этой прямой, что и треугольник 5 и —1 в про­ тивном случае. Следовательно, в с е х ч л е н о в l f ЕвТ '/.7А е 7 = ^ р ^ / , 7 = 1 е / ) р ( В 1 С) = (ВС | А). (15) Подобным же образом £ 2 1! Ч иРи Е 1 = (СА | В), 5£±*и1 Р ={АВ и и | С). (16) Если Ьц—отрезок второго типа, то он служит общей стороной двух треугольников, лежащих по разные стороны от содержащей его прямой. В соответствии с этим члены четвертой частичной суммы распадаются на пары членов, имеющих одинаковые множи­ тели 1ц и рц, но противоположные множители Вц, Следовательно, четвертая сумма равна нулю, и формулы (7), (15), (16) и (14) дают: (S ) = (ВС \А) + (СА | В) + (АВ | Q = (Т ) + . . . + (Т ). x х л Рассмотрим т е п е р ь о б щ и й с л у ч а й . Пусть Р=и +... + и х я (17) — правильное общее измельчение разбиений (12). Каждый из тре­ угольников 5,, S правильно разбит на треугольники разбие­ ния (17). Если, например, S = + . . . + */ь„ то, согласно только что доказанному, (5 ) = (U ) + . . . + Выписывая такие же соотношения для треугольников 5 , . . . , S и суммируя, получим: m t t kt 2 m (5,) + . . . + ( 5 J = ( ^ ) + . . . + (£/,). Подобным же образом (T ) + ...+(T ) l n = (U ) + l ...+(U ). r Из этих двух соотношений следует равенство (13). Доказательство с у щ е с т в о в а н и я . Пусть Р — произ­ вольная многоугольная фигура и Р=Т Х + ...+Т п (18)