* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПЛОЩАДЬ НА КЛАССЕ МНОГОУГОЛЬНЫХ ФИГУР 25 Будут ли они равны между собой? Пока на этот вопрос не дан положительный ответ, мы не можем утверждать, что правая часть формулы (6) есть функция фигуры Р . Это г положительный ответ был бы очевиден, если бы мы могли опираться на существова­ ние площади: мы сказали бы тогда, что каждое из чисел о, о ' равно площади фигуры Р . Но мы не можем опираться на то, что хотим доказать. Мы должны, таким образом, установить равенство с = о ' непосредственно. Л е м м а 1. Произведение стороны треугольника на соответ­ ствующую высоту одинаково для всех трех сторон. Действительно, пусть ABC— произвольный треугольник и B' С — основания перпендикуляров, опущенных из вершин В, С иа прямые АС, АВ (рис. 6). Из соображений подобия следует, что р (С, С): р (А, С) = = р(В, В'):р(А, В), и, следовательно, р И , В ) р ( С , С')=р(А, С)р(В, В'). Условимся обозначать через (ABC) по­ ловину произведения длины отрезка АВ на длину перпендикуляра, опущенного из точки С на прямую АВ, если точ­ ки ABC не лежат на одной прямой, и положим (АВС) = 0 в противном случае. Если точки А, В, С служат вершинами треугольника Т, то наряду с (ABC) мы Рис. 6. будем писать также (Г). Такая запись не приведет к недоразумению, так как, согласно лемме 1, (АВС)= = (ВСА) = (САВ). Фиксируем на плоскости какую-нибудь точку О и обозначим для произвольного треугольника ABC через (АВ\С) число (АВО), если С лежит по ту же сторону от прямой АВ, что и О, и число —(АВО), если О и С лежат но разные стороны от прямой АВ (если прямая АВ проходит через точку О, то (АВ | С) = 0). Л е м м а 2. Если треугольник ABC не содержит точки О, то ) t 1 (АВС) = (ВС \ А) + (СА | В) + (АВ \ Q. А в с (7) Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть П , П , П — полуплоскости с гра­ ничными прямыми ВС, СА, АВ, содержащие точки А, В, С. Прямые ВС, СА, АВ делят плоскость на восемь непересекающихся частей ППП, П^П (доп.П ), П^(доп.П )П , (доп. П ) (доп. П ) , (дон. П ) П П , (доп. П ) П (доп. П ) , (доп. П^) (доп. П ) П , (доп. П ) (доп. П ) (доп. П ) , А В С в с д с в с А В С А в с в с А в с ) Можно было бы доказать, что соотношение (7) справедливо при любом расположении точки О, но нам этот факт не понадобится. 1