* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

24 ПЛОЩАДЬ И ОЬЪЕМ площадь пустого множества равна нулю. Если фигура Р не является пустым множеством, то ее можно разбить на треугольники •••» Пусть а ...,а — как либо выбранные осно­ вания этих треугольников и h . .., h — соответствующие высоты. Из свойства ((3) и теоремы п. 3.4 следует: я с и п tJ n *( )=4£ A(С) /=1 Формула (6) справедлива и при л = 0: в этом случае Р есть пустое множество и обе части формулы (6) равны нулю. 3.6. Строгая монотонность. Если многоугольная фигура Q есть часть многоугольной фигуры P отличная от Р , то s(Q)0. Следовательно, s(P)>s(Q). 3.7. Теорема существования и единственности. На классе многоугольных фигур существует одна и только одна функция со свойствами (ос) — ( б ) . Докажем сначала единственность. Пусть s и s' — две функции, определенные на классе многоугольных фигур и обладающие свой­ ствами (а) — (б). Возьмем произвольную многоугольную фигуру Р , разобьем ее на треугольники и обозначим через а . . а как-либо выбранные основания этих треугольников и через h h— соответствующие высоты. Согласно формуле (6), t и п lt n p f l л 5 л ( ) = \ х р * А. *' ( р ) = т а А- Следовательно, s' (P) = s(P) и s' = s. Обратимся к доказательству существования. Его идею достав­ ляет нам та же формула (6). Мы видели, что если на классе мно­ гоугольных фигур существует функция со свойствами (а) — (б), то она может быть вычислена по формуле (6). Нельзя ли доказать, что правая часть формулы (6) и есть требуемая функция? Мы увидим, что доказать это действительно можно, но что доказательство совсем не просто. Важно хорошо понять, в чем заключается трудность. Пусть Р—многоугольная фигура. Чтобы вычислить для нее правую часть формулы (6), мы должны разбить ее на треугольники и в каждом из них выбрать основание. Пред­ положим, что это сделано двумя различными способами, и пусть о и о ' — соответствующие значения правой части формулы (6).