* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

22 ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ не имеет общих внутренних точек ни с Q, ни с [PQ]. Следова­ тельно, s(P+Q) = s(P') + s(Q), s(P) = s(P') + s{[PQ]). Исключая из этих соотношений s ( P ' ) , мы получаем соотношение (1). Для любых многоугольных фигур P . . . , Р справедливо не­ равенство S ( Р + . . . + / у < S (Р ) + . . . - f S (Р ). При п — 2 это следует из соотношения (1), при л > 2 устанав­ ливается индуктивно. 3.3. Вычисление площади прямоугольника. Площадь прямо­ угольника равна произведению двух соседних сторон. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть Р — прямоугольник, а и b— его соседние стороны. Предположим сначала, что Р—квадрат со стороной l//z, т. е. что а = Ь—\/п(п— натуральное число). Пусть Е— единичный квад­ рат. Разобьем его прямыми, параллельными сторонам, на п ча­ стичных квадратов, равных Р . Так как эти квадраты составляют Е и попарно не имеют общих внутренних точек, то, согласно свой­ ству ( Р ) , сумма их площадей равна s(E). Но, согласно свойству (у), площадь каждого из них равна s(P), так что сумма их площадей равна пЧ (Р), а согласно свойству (б), s (Е) = 1. Следовательно, *s(P)=\ и s(P)= \1п . Предположим теперь, что а и b — любые рациональные числа. После приведения к общему знаменателю они представятся в виде a = l/n, b = m/n где /, т, п — натуральные числа. Разобьем прямо­ угольник Р прямыми, параллельными его сторонам, на 1т равных квадратов со стороной \/п. По доказанному, площадь каждого из них равна 1/л , так что сумма их площадей равна / m / л , а согласно свойству (Р), эта сумма равна s(P). Следозательно, s(P) — lm/n . Рассмотрим, наконец, общий случай. Пусть е — произвольное положительное число. Так как произведение ху непрерывно зави­ сит от х н у , то существует такое положительное число б, что \ху — а £ | < е / 2 , как только l f П х г п 2 % n f 2 2 2 |х-а|<б, \у-Ь\<Ь. (2) Придадим х н у сначала какие-нибудь рациональные значения x = a у = Ь , удовлетворяющие неравенству (2) и неравенствам а ^ а, Ь *£.Ь, а затем какие-нибудь рациональные значения х = а , y = b удовлетворяющие неравенствам (2) и неравенствам a ^ a Ь ^ Ь. Ясно, что lt г г г 2 2i 2 t г аф г % — а Ь < е, х х г г (3) 4 аЬ Построим прямоугольник Р в Р , и прямоугольник Р со доказанному, s (Р ) = a b s х г г г ± lt ^ab^ аЬ. -( ) со сторонами a b содержащийся сторонами я , Ь , содержащий Р . По ( Р ) = аф и, в силу монотонности lf lt 3 2 2 %%