* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПЛОЩАДЬ НА КЛАССЕ МНОГОУГОЛЬНЫХ ФИГУР 21 частью многоугольной фигуры P то фигуры [P—Q]uQ не имеют общих внутренних точек и P — jp—Qj-^-Q. Доказанная теорема позволяет лучше понять определение много­ угольной фигуры, данное в п. 2.4. Согласно этому определению, многоугольная фигура есть сумма конечного числа треугольников, попарно не имеющих общих внутренних точек. Теперь мы видим, что сумма конечного числа треугольников в с е г д а является много­ угольной фигурой, независимо от того, как эти треугольники рас­ положены относительно друг друга. t § 3. Площадь на классе многоугольных фигур 3.1- Определение площади. Площадь на классе многоугольных фигур есть функция, определенная на этом классе и обладающая свойствами (а) —(б). Формулировку этих свойств см. в п. 1.1. Под фигурой в них следует понимать многоугольную фигуру. Существование и единственность нашей функции будут дока­ заны в п. 3.7. Пока они не доказаны, мы будем понимать под пло­ щадью к а к у ю - н и б у д ь функцию многоугольной фигуры, облада­ ющую свойствами (а) — (б), п р е д п о л а г а я ее существующей. Площадь будет обозначаться чорез s, площадь многоугольной фи­ гуры Р — ч е р е з s(P). 3,2. Простейшие следствия определения. Площадь есть моно­ тонная функция: если многоугольная фигура Q есть часть много­ угольной фигуры Р , то s(Q)*^s{P). С этим свойством мы уже встречались в п. 1.1. Однако мы не можем сослаться на данное там изложение, так как оно не было достаточно отчетливым: не был разъяснен точный смысл таких вы­ ражений, как ^-фигура», «дополнительная фигура», «внутренняя точка». F и G молчаливо предполагались принадлежащими к классу фигур, на котором определена площадь, но мы не смогли бы до­ казать, что к этому классу принадлежит дополнительная фигура G' или что она не имеет с G общих внутренних точек. Теперь, когда речь идет о многоугольных фигурах, эти про­ белы нетрудно восполнить. Положим /? = [ Р — Q ] , Как показано в п. 2.5, фигуры Q и R не имеют общих внутренних точек и Р = =-.(? + /?. Следовательно, s(P)^s(Q) + s{R) и так как s(R)^=*0, то s(P)^ss(Q). Для любых двух многоугольных фигур Р и Q имеет место соотношение t s (Р+ Q) = s(P) + s (Q) - s ( [ P Q ] ) . (1) Для доказательства положим Р ' = [ P — [PQ]]. Как было пока­ зано в п. 2.5, P - } Q = P ' - f Q , Р = Р ' + [Р<2], причем фигура Р '