* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
СООТНОШЕНИЯ
В СФЕРИЧЕСКОМ
ТРЕУГОЛЬНИКЕ
545
касательными к пространственной линии; га кую поверхность, так же как конус или цилиндр, можно «развернуть» на плоскость. В этом случае можно определить геодезическую кривизну линии на сфере в каждой ее точке как п р е д е л отношения поворота вектора при переносе вдоль дуги линии к длине этой дуги при стягивании этой дуги в данную точку; в общем случае геодезическая кривизна изменяется от точки к точке и является постоянной только для окружностей. Площадь сферической фигуры, ограниченной произвольной гладкой линией, можно определить по той же формуле (11), что и для рассматриваемых нами фигур, причем эту формулу можно также переписать в виде, отличающемся от формулы (12) заменой суммы ^]&;5; интегралом ^ kds от геодезической кривизны контура
С
по длине его дуги. Соответствующая формула и является общей л о й Г а у с с а — Б о н н е для случая сферической поверхности.
форму
§ 4. Тригонометрические соотношения в сферическом треугольнике )
1
4.1. Сферическая теорема косинусов. Рассмотрим произвольный сферический треугольник ЛВС (напомним, что каждая его Сторона меньше яг). Прежде всего докажем сферическую теорему косинусов, анало гичную теореме косинусов плоской тригонометрии; доказательство сферической теоремы косинусов, как мы увидим, существенно опи рается на плоскую теорему коси нусов. Предположим сначала, что ка ждая из сторон Ь и с сферического треугольника ABC меньше -^-г. Проведем из точки А касательные AM и AN к сторонам с и Ь и найдем точки М и N пересечения этих касательных с продолжения ми радиусов ОВ и ОС (рис. 44); эти точки пересечения сущест вуют, так к*ак, по предположению, каждый из. углов АОС, АОВ
Рис. 44.
меньше - у . Тогда угол А равен в силу плоской (13)
углу MAN, и для плоского треугольника MAN георемы косинусов получаем MN* = AN + AM
1 2
— 2AN- AM cos A.
•) См. также п. 6.2 статьи «Векторы и их применение в геометрии», стр. 368.
35 Энциклопедия, кн. 4
