* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

544 О Н В Ы П Н Т ЯС Е И Е К Й Г О Е Р ИИ Т И О О Е Р И С О Н Е О Я И Ф Р Ч С О Е М Т И Р Г Н М Т И Рассмотрим теперь перенос вектора вдоль контура выпуклого сфери­ ческого многоугольника. Так как площадь S„ выпуклого сферического л-угольника связана с суммой £ его внутренних углов соотношением (3), или, иначе, соотношением п S = r*|2n-(nn-S )]. n n ч то мы получаем, что угол А и пло­ щадь S„ связаны соотношением п S„=r*(2n-A ). n 00) Рассмотрим теперь какую-либо выпуклую сферическую фигуру, ог­ раниченную дугами окружностей (не обязательно больших). Если мы впнРис- 42. шем в эту фигуру сферические много­ угольники и будем стремить число их сторон к бесконечности таким образом, чтобы длина наибольшей стороны многоугольника стремилась к нулю, то площадь S„ вписанного л-угольника будет стремиться к площади S рассматриваемой фигуры, а угол Д„ будет стремиться к углу Л. на который поворачивается ьектор при параллель­ ном переносе вдоль всего контура этой фигуры после возвращения векторн в исходную точку. Поэтому, переходя в равенстве (10) к пределу, мы получим, что площадь 5 фигуры и угол Л связаны соотношением $=г*(2л—Д), (11) составляющим частный случай знаменитой'формулы Гaycca — Бонне. В качестве примера применим формулу (11) к вычислению плошали сферического круга. В случае сферического круга радиуса R угол Л равен 2л cos— <см. фор­ мулу (7)). Поэтому в этом случае = 4яг* sin* 4- • 2г т. е. мы срова получили фор­ мулу (6). Рис. 43. В случае сферической фи туры, огран иче н н ой произ­ вольным контуром, состоящим из дуг окружностей, угол Д представляет собой сумму углов А/, смежных с внутренними углами этой фигуры (как в случае сферического многоугольника) и произведений Ад-, где 5,-—геоде­ зические кривизны дуг, ограничивающих фигуру, a s -—длины этих дуг, т. е. формулу ( Ш в этом случае можно переписать в виде ( S = г* ( 2 л - £ Д , — J A,s,V (12) Перенос вектора можно определить и вдоль п р о и з в о л ь н о й г л а д ­ к о й л и н и и : в этом случае касательные плоскости в точках этой линии касаются уже не конуса или цилиндра, а поверхности, образованной